北京科技大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2．（20 分）已知 $A$ 为 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 元列向量，若矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$ 的秩．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵结构
已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆反对称矩阵，即 $A^T = -A$，且 $\det(A) \neq 0$。$b$ 是 $n$ 维列向量。矩阵 $B = \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & 0 \end{pmatrix}$ 是 $(n+1)\times(n+1)$ 矩阵。目标是求 $B$ 的秩。
提示：注意 $A$ 可逆且反对称，这是后续推导的关键。
步骤 2/6
目标：计算行列式
利用分块矩阵的行列式公式：若 $A$ 可逆，则 $\det(B) = \det(A) \cdot \det(0 - b^T A^{-1} b) = -\det(A) \cdot (b^T A^{-1} b)$。
公式：$\det\begin{pmatrix} A & b \\ b^T & 0 \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(-b^T A^{-1} b)$
提示：公式适用条件是 $A$ 可逆，且左下块为 $b^T$，右下块为 $0$。
步骤 3/6
目标：化简行列式
由于 $A$ 反对称可逆，其逆 $A^{-1}$ 也是反对称的：$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = (-A)^{-1} = -A^{-1}$。因此 $b^T A^{-1} b$ 是一个数，且其转置等于自身：$(b^T A^{-1} b)^T = b^T (A^{-1})^T b = -b^T A^{-1} b$，所以 $b^T A^{-1} b = -b^T A^{-1} b$，推出 $b^T A^{-1} b = 0$。于是 $\det(B) = -\det(A) \cdot 0 = 0$。
公式：$b^T A^{-1} b = 0$
提示：注意反对称矩阵的二次型恒为零，这是关键性质。
步骤 4/6
目标：确定秩的上界
由 $\det(B)=0$ 知 $B$ 奇异，秩 $\operatorname{rank}(B) < n+1$。又 $A$ 可逆，$B$ 的前 $n$ 行线性无关（因为 $A$ 的 $n$ 行线性无关），所以 $\operatorname{rank}(B) \ge n$。因此 $\operatorname{rank}(B) = n$ 或 $n+1$，但行列式为0排除 $n+1$，故 $\operatorname{rank}(B) \le n$。结合下界得 $\operatorname{rank}(B) = n$。
提示：注意 $B$ 的前 $n$ 行包含 $A$ 的 $n$ 行，而 $A$ 可逆，所以这 $n$ 行线性无关。
步骤 5/6
目标：验证秩为n
考虑齐次线性方程组 $B \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$，其中 $x \in \mathbb{R}^n$，$y \in \mathbb{R}$。得 $\begin{cases} A x + y b = 0 \\ b^T x = 0 \end{cases}$。由 $A$ 可逆，第一式给出 $x = -y A^{-1} b$。代入第二式：$b^T(-y A^{-1} b) = -y (b^T A^{-1} b) = 0$（因为 $b^T A^{-1} b=0$），恒成立。因此对任意 $y$，$x = -y A^{-1} b$ 都是解，解空间维数至少为1。实际上解空间维数恰为1（$y$ 自由，$x$ 由 $y$ 唯一确定），所以零空间维数为1，从而 $\operatorname{rank}(B) = (n+1)-1 = n$。
提示：注意解空间维数至少为1，但不会更大，因为 $y$ 是自由变量。
步骤 6/6
目标：总结结论
无论 $b$ 是否为零向量，矩阵 $B$ 的秩均为 $n$。
提示：当 $b=0$ 时，$B$ 为分块对角矩阵，秩显然为 $n$。
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