北京科技大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4．（15 分）设 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 为所有 3 阶实方阵按矩阵的加法及实数与矩阵的数量乘法构成的实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间．已知 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 的两个子空间
$$
W_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}
a & 0 & c \\
a & 0 & 0 \\
c & b & 0
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}, W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}
x & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & z
\end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in \mathbb{R}\right\} .
$$
（1）求和空间 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 的维数和一组基．
（2）记 $\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ，求子空间 $\displaystyle W_{3}$ ，使得 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})=W_{3} \oplus W$ ，并说明理由．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定子空间W1的维数和基
子空间$W_1$中的矩阵形式为$\begin{pmatrix} a & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ c & b & 0 \end{pmatrix}$，其中$a,b,c\in\mathbb{R}$。将其表示为$a\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}$。这三个矩阵线性无关，故$\dim W_1=3$，一组基为$E_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},E_2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},E_3=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵中a,b,c的位置，不要遗漏非零元素。
步骤 2/7
目标：确定子空间W2的维数和基
子空间$W_2$中的矩阵形式为$\begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{pmatrix}$，其中$x,y,z\in\mathbb{R}$。可表示为$x\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。这三个矩阵线性无关，故$\dim W_2=3$，一组基为$F_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},F_2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix},F_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
提示：对角矩阵的基是标准基。
步骤 3/7
目标：求W1与W2的交集
设矩阵$A\in W_1\cap W_2$，则$A$同时具有$W_1$和$W_2$的形式。比较得：$a=x$，$c=0$，$a=0$，$b=0$，$c=0$，$b=0$，$0=z$。解得$a=b=c=x=y=z=0$，故$W_1\cap W_2=\{0\}$。
提示：注意比较矩阵对应位置的元素，不要遗漏。
步骤 4/7
目标：求W1+W2的维数和基
由于$W_1\cap W_2=\{0\}$，$W_1+W_2$是直和，故$\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2=6$。一组基可取$W_1$和$W_2$的基的并集，即$E_1,E_2,E_3,F_1,F_2,F_3$。
公式：直和维数公式：$\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)$，当$U\cap V=\{0\}$时，$\dim(U+V)=\dim U+\dim V$。
提示：直和的条件是交集为零空间。
步骤 5/7
目标：确定W的矩阵形式
$W=W_1+W_2$中的矩阵为$W_1$与$W_2$中矩阵的和，一般形式为$\begin{pmatrix} a+x & 0 & c \\ a & y & 0 \\ c & b & z \end{pmatrix}$，其中$a,b,c,x,y,z\in\mathbb{R}$。观察发现，$(1,2)$、$(2,3)$、$(3,1)$位置恒为0。
提示：注意和矩阵中每个元素是相应位置元素的和。
步骤 6/7
目标：构造补空间W3
$M_3(\mathbb{R})$的维数为9，$W$的维数为6，故$W_3$的维数应为3。取$W_3$由三个矩阵张成，这些矩阵在$W$中恒为零的位置（即$(1,2)$、$(2,3)$、$(3,1)$）为1，其余为0：$G_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},G_2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},G_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}$。则$W_3=\operatorname{span}\{G_1,G_2,G_3\}$。
提示：补空间不唯一，但必须满足$W_3\cap W=\{0\}$且维数之和为9。
步骤 7/7
目标：验证直和分解
首先，$W_3$中的矩阵在$(1,2)$、$(2,3)$、$(3,1)$位置非零，而$W$中这些位置恒为0，故$W_3\cap W=\{0\}$。其次，$W$的基与$W_3$的基合起来共9个矩阵，它们线性无关（例如，它们都是标准基的一部分），因此构成$M_3(\mathbb{R})$的一组基，从而$M_3(\mathbb{R})=W_3\oplus W$。
提示：验证直和时，需检查交集为零且维数之和等于全空间维数。
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