北京邮电大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度函数为
$$
f(x, y)= \begin{cases}c(x+y), & 0 \leq y \leq x \leq 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
$c$ 为待定系数．
（1）求 $c$ ．
（2）求 $\displaystyle X, Y$ 的边缘密度函数．
（3）求协方差 $\displaystyle \operatorname{cov}(X, Y)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用归一性求常数c
由概率密度函数的归一性：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy \, dx = 1$$
积分区域为 $0 \leq y \leq x \leq 1$，因此：
$$\int_0^1 \int_0^x c(x+y) \, dy \, dx = 1$$
先对 $y$ 积分：
$$\int_0^x (x+y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{y=0}^{y=x} = x^2 + \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^2$$
再对 $x$ 积分：
$$\int_0^1 c \cdot \frac{3}{2}x^2 \, dx = c \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{c}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad c = 2$$
公式：$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy \, dx = 1$$
提示：注意积分区域为三角形，先对y积分时y从0到x，再对x从0到1。
步骤 2/7
目标：求X的边缘密度函数
$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_0^x 2(x+y) \, dy = 2 \left( xy + \frac{y^2}{2} \right) \Big|_0^x = 2 \left( x^2 + \frac{x^2}{2} \right) = 3x^2, \quad 0 \leq x \leq 1$$
其他情况 $f_X(x)=0$。
公式：$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy$$
提示：注意积分限：y从0到x，因为当y>x时f=0。
步骤 3/7
目标：求Y的边缘密度函数
$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_y^1 2(x+y) \, dx = 2 \left( \frac{x^2}{2} + xy \right) \Big|_y^1 = 2 \left( \frac{1}{2} + y - \frac{y^2}{2} - y^2 \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + y - \frac{3}{2}y^2 \right) = 1 + 2y - 3y^2, \quad 0 \leq y \leq 1$$
其他情况 $f_Y(y)=0$。
公式：$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$$
提示：注意积分限：x从y到1，因为当x
步骤 4/7
目标：计算E(X)
$$E(X) = \int_0^1 x f_X(x) \, dx = \int_0^1 x \cdot 3x^2 \, dx = 3 \int_0^1 x^3 \, dx = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
公式：$$E(X) = \int x f_X(x) \, dx$$
提示：注意积分区间为[0,1]。
步骤 5/7
目标：计算E(Y)
$$E(Y) = \int_0^1 y f_Y(y) \, dy = \int_0^1 y (1 + 2y - 3y^2) \, dy = \int_0^1 (y + 2y^2 - 3y^3) \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} + \frac{2}{3}y^3 - \frac{3}{4}y^4 \right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{6}{12} + \frac{8}{12} - \frac{9}{12} = \frac{5}{12}$$
公式：$$E(Y) = \int y f_Y(y) \, dy$$
提示：注意积分区间为[0,1]。
步骤 6/7
目标：计算E(XY)
$$E(XY) = \int_0^1 \int_0^x xy \cdot 2(x+y) \, dy \, dx = 2 \int_0^1 \int_0^x (x^2 y + x y^2) \, dy \, dx$$
先对 $y$ 积分：
$$\int_0^x (x^2 y + x y^2) \, dy = \left[ \frac{x^2 y^2}{2} + \frac{x y^3}{3} \right]_0^x = \frac{x^4}{2} + \frac{x^4}{3} = \frac{5}{6}x^4$$
再对 $x$ 积分：
$$E(XY) = 2 \int_0^1 \frac{5}{6}x^4 \, dx = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{3}$$
公式：$$E(XY) = \int \int xy f(x,y) \, dy \, dx$$
提示：注意积分区域与求c时相同。
步骤 7/7
目标：计算协方差
$$\operatorname{cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{3} - \frac{15}{48} = \frac{16}{48} - \frac{15}{48} = \frac{1}{48}$$
公式：$$\operatorname{cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$$
提示：注意计算E(X)E(Y)时不要混淆分数。
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