📝 北京邮电大学 2026年高等代数真题

一．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，$A$ 可对角化，且 $\displaystyle B A^{2}=A+B$ ．证明：
（1） 1 不是 $A$ 的特征值．
（2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵。

七．设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度函数为

$$
f(x, y)= \begin{cases}c(x+y), & 0 \leq y \leq x \leq 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

$c$ 为待定系数．
（1）求 $c$ ．
（2）求 $\displaystyle X, Y$ 的边缘密度函数．
（3）求协方差 $\displaystyle \operatorname{cov}(X, Y)$ ．

三．设整系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数是 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1\left(m \in \mathbb{N}^{+}\right)$，证明：如果有 $\displaystyle k(\geq 2 m+1)$ 个不同的整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ ，使得每个 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)$ 取值为 1 或 -1 ，那么 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

九．设随机变量 $X$ 的分布律为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k}}, k=1,2, \cdots$ ，令 $\displaystyle Y=\sin \left(\frac{\pi}{2} X\right)$ ．
（1）求 $Y$ 的分部律．
（2）设随机变量序列 $\displaystyle \left\{Y_{n}, n=1,2, \cdots\right\}$ 独立同分布，且与 $Y$ 有相同的分布函数．
$\displaystyle (2-1)$ 对于任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，利用切比雪夫不等式证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2}{5}\right|>\varepsilon\right)=0
$$

$\displaystyle (2-2)$ 设常数 $\displaystyle a>0$ ，满足 $\displaystyle \Phi\left(\sqrt{\frac{75}{38}}\right)=a$ ，其中 $\displaystyle \Phi$ 为标准正态分布的分布函数，求

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2 n}{5}\right|>1\right)
$$

二．求一个矩阵 $A$ ，使得它的伴随矩阵是 $\displaystyle A^{*}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right)$ ．

五．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的正交变换，设子空间

$$
V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha, \alpha \in V\}, V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-\sigma(\alpha), \alpha \in V\} .
$$

证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

八．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y e^{-y(1+x)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 令 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}U=X Y, \\ V=Y .\end{array}\right.$
（1）求 $\displaystyle (U, V)$ 的概率密度函数 $\displaystyle g(u, v)$ ．
（2）求 $\displaystyle U, V$ 的边缘概率密度函数 $\displaystyle g_{U}(u)$ 和 $\displaystyle g_{V}(v)$ ，并判别 $\displaystyle U, V$ 的独立性．
（3）求 $\displaystyle Z=U+V$ 的概率密度函数．

六．独立重复进行伯努利实验，假设每次实验结果为 $A$ 和 $\displaystyle \bar{A}$ ，且满足 $\displaystyle P(A)=p \in(0,1)$ ，设 $\displaystyle x_{k}$ 表示实验结果 $A$ 第 $k$ 次出现所需的试验次数，$\displaystyle k=1,2, \cdots$ ，令 $\displaystyle m, n$ 为正整数．
（1）求概率 $\displaystyle P\left(x_{1}=n, x_{3}=m+n+1\right)$ ．
（2）求条件概率 $\displaystyle P\left(x_{1}=m \mid x_{2}=m+n\right)$ ．
（3）求数学期望 $\displaystyle E\left[x_{k}\right]$ 和方差 $\displaystyle D\left[x_{k}\right], k=1,2, \cdots$ ．

十．设随机变换 $\displaystyle X, Y$ 相互独立，概率密度函数分别为

$$
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array} \quad f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\mu e^{-\mu y}, & y>0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array} \quad \lambda, \mu>0 .\right.\right.
$$

（1）求 $\displaystyle P(X>Y)$ ．
（2）令 $\displaystyle M=\max \{X, Y\}, N=\min \{X, Y\}$ ，求其概率密度函数 $\displaystyle f_{M}(x), f_{N}(x)$ ．
（3）求 $N$ 的特征函数 $\displaystyle \varphi_{N}(t)$ ．

四．设 $\displaystyle A, B$ 分别是数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n, n \times s$ 矩阵，$\displaystyle V=\left\{B \gamma \mid \gamma \in P^{s}, A B \gamma=0\right\}$ 是 $n$ 维向量空间 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间，证明：维 $\displaystyle (V)=$ 秩 $\displaystyle (B)-$ 秩 $\displaystyle (A B)$ ．