北京邮电大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．设整系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数是 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1\left(m \in \mathbb{N}^{+}\right)$，证明：如果有 $\displaystyle k(\geq 2 m+1)$ 个不同的整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ ，使得每个 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)$ 取值为 1 或 -1 ，那么 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定条件与反证假设
设整系数多项式 $f(x)$ 的次数 $n=2m$ 或 $n=2m+1$，且存在 $k\geq 2m+1$ 个不同的整数 $a_1,\dots,a_k$ 使得 $f(a_i)=\pm 1$。假设 $f(x)$ 在有理数域上可约，则存在非零次整系数多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$，且 $\deg g,\deg h\geq 1$。
提示：注意反证法的使用，假设可约后要明确因子的次数非零。
步骤 2/6
目标：分析因子的次数关系
由于 $\deg f = n$，故 $\deg g + \deg h = n$。不妨设 $\deg g \leq \deg h$，则 $\deg g \leq \lfloor n/2 \rfloor = m$。
公式：$\deg g \leq m$
提示：注意 $n$ 为奇数时 $\lfloor n/2 \rfloor = m$，偶数时 $n/2=m$，因此 $\deg g \leq m$。
步骤 3/6
目标：利用函数值推导因子的取值
对每个 $a_i$，有 $g(a_i)h(a_i)=f(a_i)=\pm 1$。由于 $g(a_i),h(a_i)$ 均为整数，故 $g(a_i)=\pm 1$ 且 $h(a_i)=\pm 1$，且两者同号。因此 $g(a_i)\in\{1,-1\}$。
公式：$g(a_i)h(a_i)=\pm 1 \Rightarrow g(a_i)=\pm 1$
提示：整数乘积为 $\pm 1$ 时，每个因子只能是 $\pm 1$。
步骤 4/6
目标：构造辅助多项式
考虑多项式 $p(x)=g(x)-1$ 和 $q(x)=g(x)+1$。则对每个 $a_i$，$g(a_i)=1$ 或 $-1$，故 $p(a_i)=0$ 或 $q(a_i)=0$，即每个 $a_i$ 是 $p(x)q(x)$ 的根。
公式：$p(x)q(x)=g(x)^2-1$
提示：注意 $p(x)q(x)$ 的次数为 $2\deg g$。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
$p(x)q(x)$ 的次数为 $2\deg g \leq 2m$，但它有至少 $k \geq 2m+1$ 个不同的根 $a_1,\dots,a_k$。若非零多项式次数小于根个数，则必为零多项式，故 $p(x)q(x)\equiv 0$，即 $g(x)^2\equiv 1$。因此 $g(x)\equiv 1$ 或 $g(x)\equiv -1$，这与 $\deg g\geq 1$ 矛盾。
公式：$\deg(pq) \leq 2m < k \Rightarrow pq\equiv 0$
提示：多项式恒等定理：非零多项式次数至少等于其不同根的个数。
步骤 6/6
目标：结论
假设不成立，故 $f(x)$ 在有理数域上不可约。
提示：反证法完成。
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