北京邮电大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的正交变换，设子空间
$$
V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha, \alpha \in V\}, V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-\sigma(\alpha), \alpha \in V\} .
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确要证明的结论
要证明 $V = V_1 \oplus V_2$，即证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 且 $V = V_1 + V_2$。
提示：注意直和的定义：子空间的和且交为零。
步骤 2/8
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
任取 $\gamma \in V_1 \cap V_2$，则 $\sigma(\gamma) = \gamma$，且存在 $\alpha \in V$ 使得 $\gamma = \alpha - \sigma(\alpha)$。
公式：$\sigma(\gamma) = \gamma$，$\gamma = \alpha - \sigma(\alpha)$
提示：注意 $V_2$ 的定义：所有形如 $\alpha - \sigma(\alpha)$ 的向量。
步骤 3/8
目标：推导 $\gamma$ 的表达式
对 $\gamma = \alpha - \sigma(\alpha)$ 两边作用 $\sigma$，得 $\sigma(\gamma) = \sigma(\alpha) - \sigma^2(\alpha)$。由于 $\sigma(\gamma) = \gamma$，所以 $\gamma = \sigma(\alpha) - \sigma^2(\alpha)$。将两式相加得 $2\gamma = \alpha - \sigma^2(\alpha)$，即 $\gamma = \frac{1}{2}(\alpha - \sigma^2(\alpha))$。
公式：$\gamma = \frac{1}{2}(\alpha - \sigma^2(\alpha))$
提示：注意 $\sigma^2$ 表示两次作用，不是平方。
步骤 4/8
目标：迭代得到 $\gamma$ 的极限形式
重复上述过程，对任意正整数 $k$，可得 $\gamma = \frac{1}{2^k}(\alpha - \sigma^{2^k}(\alpha))$。
公式：$\gamma = \frac{1}{2^k}(\alpha - \sigma^{2^k}(\alpha))$
提示：迭代时注意每次将 $\alpha$ 替换为 $\sigma^{2^{k-1}}(\alpha)$？实际上直接归纳即可。
步骤 5/8
目标：利用正交变换保范数推出 $\gamma = 0$
由于 $\sigma$ 是正交变换，$\|\sigma^{2^k}(\alpha)\| = \|\alpha\|$。于是 $\|\gamma\| = \frac{1}{2^k}\|\alpha - \sigma^{2^k}(\alpha)\| \leq \frac{1}{2^k}(\|\alpha\| + \|\sigma^{2^k}(\alpha)\|) = \frac{2\|\alpha\|}{2^k} \to 0$ 当 $k \to \infty$。因此 $\|\gamma\| = 0$，即 $\gamma = 0$。故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$\|\sigma(\alpha)\| = \|\alpha\|$
提示：正交变换保持内积，从而保持范数。
步骤 6/8
目标：证明 $V = V_1 + V_2$
任取 $\alpha \in V$，令 $\beta = \frac{1}{2}(\alpha + \sigma(\alpha))$，$\gamma = \frac{1}{2}(\alpha - \sigma(\alpha))$，则 $\alpha = \beta + \gamma$。
公式：$\beta = \frac{1}{2}(\alpha + \sigma(\alpha))$，$\gamma = \frac{1}{2}(\alpha - \sigma(\alpha))$
提示：注意构造的 $\beta$ 和 $\gamma$ 形式。
步骤 7/8
目标：验证 $\beta \in V_1$，$\gamma \in V_2$
计算 $\sigma(\beta) = \frac{1}{2}(\sigma(\alpha) + \sigma^2(\alpha)) = \frac{1}{2}(\sigma(\alpha) + \alpha) = \beta$，所以 $\beta \in V_1$。又 $\gamma = \frac{1}{2}(\alpha - \sigma(\alpha))$，而 $\alpha - \sigma(\alpha) \in V_2$，且 $V_2$ 是子空间，故 $\gamma \in V_2$。因此 $\alpha = \beta + \gamma \in V_1 + V_2$，从而 $V = V_1 + V_2$。
提示：注意 $V_2$ 是子空间，所以数乘封闭。
步骤 8/8
目标：总结结论
由 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 和 $V = V_1 + V_2$ 得 $V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和的条件要同时满足。
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