北京邮电大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十．设随机变换 $\displaystyle X, Y$ 相互独立，概率密度函数分别为
$$
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array} \quad f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\mu e^{-\mu y}, & y>0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array} \quad \lambda, \mu>0 .\right.\right.
$$
（1）求 $\displaystyle P(X>Y)$ ．
（2）令 $\displaystyle M=\max \{X, Y\}, N=\min \{X, Y\}$ ，求其概率密度函数 $\displaystyle f_{M}(x), f_{N}(x)$ ．
（3）求 $N$ 的特征函数 $\displaystyle \varphi_{N}(t)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立联合概率密度函数
由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，联合概率密度函数为 $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y) = \lambda \mu e^{-\lambda x - \mu y}$，其中 $x>0, y>0$。
公式：f_{X,Y}(x,y) = \lambda \mu e^{-\lambda x - \mu y}
提示：注意定义域：$x>0, y>0$，其他区域为0。
步骤 2/7
目标：计算概率 $P(X>Y)$
概率 $P(X>Y) = \iint_{x>y} f_{X,Y}(x,y) \,dx\,dy = \int_0^\infty \int_y^\infty \lambda \mu e^{-\lambda x - \mu y} \,dx\,dy$。先对 $x$ 积分：$\int_y^\infty \lambda e^{-\lambda x} \,dx = e^{-\lambda y}$，再对 $y$ 积分：$\int_0^\infty \mu e^{-\mu y} e^{-\lambda y} \,dy = \mu \int_0^\infty e^{-(\lambda+\mu)y} \,dy = \frac{\mu}{\lambda+\mu}$。
公式：P(X>Y) = \frac{\mu}{\lambda+\mu}
提示：积分次序：先 $x$ 后 $y$，注意 $x$ 从 $y$ 到 $\infty$。
步骤 3/7
目标：求最大值 $M$ 的分布函数
最大值 $M = \max\{X,Y\}$ 的分布函数 $F_M(x) = P(M \le x) = P(X \le x, Y \le x) = F_X(x) F_Y(x)$。其中 $F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}$，$F_Y(x) = 1 - e^{-\mu x}$，$x>0$。故 $F_M(x) = (1 - e^{-\lambda x})(1 - e^{-\mu x})$。
公式：F_M(x) = (1 - e^{-\lambda x})(1 - e^{-\mu x})
提示：注意 $x>0$，$x\le0$ 时 $F_M(x)=0$。
步骤 4/7
目标：求最大值 $M$ 的概率密度函数
对 $F_M(x)$ 求导得 $f_M(x) = \frac{d}{dx} F_M(x) = \lambda e^{-\lambda x}(1 - e^{-\mu x}) + \mu e^{-\mu x}(1 - e^{-\lambda x}) = \lambda e^{-\lambda x} + \mu e^{-\mu x} - (\lambda+\mu) e^{-(\lambda+\mu)x}$，$x>0$。
公式：f_M(x) = \lambda e^{-\lambda x} + \mu e^{-\mu x} - (\lambda+\mu) e^{-(\lambda+\mu)x}
提示：求导时注意乘积法则，化简合并同类项。
步骤 5/7
目标：求最小值 $N$ 的分布函数
最小值 $N = \min\{X,Y\}$ 的分布函数 $F_N(x) = P(N \le x) = 1 - P(N > x) = 1 - P(X > x, Y > x) = 1 - (1 - F_X(x))(1 - F_Y(x))$。由于 $P(X > x) = e^{-\lambda x}$，$P(Y > x) = e^{-\mu x}$，故 $F_N(x) = 1 - e^{-(\lambda+\mu)x}$，$x>0$。
公式：F_N(x) = 1 - e^{-(\lambda+\mu)x}
提示：注意 $P(N > x) = P(X > x, Y > x)$ 由独立性得到。
步骤 6/7
目标：求最小值 $N$ 的概率密度函数
对 $F_N(x)$ 求导得 $f_N(x) = (\lambda+\mu) e^{-(\lambda+\mu)x}$，$x>0$。即 $N$ 服从参数为 $\lambda+\mu$ 的指数分布。
公式：f_N(x) = (\lambda+\mu) e^{-(\lambda+\mu)x}
提示：指数分布密度函数形式：$\theta e^{-\theta x}$，其中 $\theta = \lambda+\mu$。
步骤 7/7
目标：求 $N$ 的特征函数
特征函数 $\varphi_N(t) = E[e^{itN}] = \int_0^\infty e^{itx} (\lambda+\mu) e^{-(\lambda+\mu)x} \,dx = (\lambda+\mu) \int_0^\infty e^{-(\lambda+\mu - it)x} \,dx = \frac{\lambda+\mu}{\lambda+\mu - it}$，$t \in \mathbb{R}$。
公式：\varphi_N(t) = \frac{\lambda+\mu}{\lambda+\mu - it}
提示：积分收敛条件：$\lambda+\mu > 0$，对任意实数 $t$ 均成立。
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