北京邮电大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．设 $\displaystyle A, B$ 分别是数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n, n \times s$ 矩阵，$\displaystyle V=\left\{B \gamma \mid \gamma \in P^{s}, A B \gamma=0\right\}$ 是 $n$ 维向量空间 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间，证明：维 $\displaystyle (V)=$ 秩 $\displaystyle (B)-$ 秩 $\displaystyle (A B)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义子空间W和映射φ
设 $W = \{\gamma \in P^s \mid AB\gamma = 0\}$，则 $W$ 是 $P^s$ 的子空间，且 $V = B(W) = \{B\gamma \mid \gamma \in W\}$。考虑线性映射 $\varphi: W \to V$，$\varphi(\gamma) = B\gamma$，则 $\varphi$ 是满射，且 $\ker \varphi = \{\gamma \in W \mid B\gamma = 0\} = \ker B \cap W$。
提示：注意 $V$ 的定义：$V = \{B\gamma \mid \gamma \in P^s, AB\gamma=0\}$，所以 $V$ 是 $W$ 在 $B$ 下的像。
步骤 2/5
目标：应用维数公式于φ
由维数公式，$\dim V = \dim W - \dim(\ker \varphi) = \dim W - \dim(\ker B \cap W)$。
公式：$\dim(\operatorname{im} \varphi) = \dim(\operatorname{dom} \varphi) - \dim(\ker \varphi)$
提示：确保 $\varphi$ 是线性映射，且定义域和陪域都是向量空间。
步骤 3/5
目标：计算dim W
考虑线性映射 $\psi: P^s \to P^m$，$\psi(\gamma) = AB\gamma$，则 $\ker \psi = W$，$\operatorname{im} \psi$ 的维数等于 $\operatorname{rank}(AB)$。由维数公式，$\dim W = s - \operatorname{rank}(AB)$。
公式：$\dim(\ker \psi) = \dim(\operatorname{dom} \psi) - \operatorname{rank}(\psi)$
提示：注意 $\psi$ 的矩阵表示是 $AB$，秩为 $\operatorname{rank}(AB)$。
步骤 4/5
目标：计算dim(ker B ∩ W)
由于 $\ker B \subseteq \ker(AB) = W$（因为 $B\gamma=0$ 推出 $AB\gamma=0$），所以 $\ker B \cap W = \ker B$。因此 $\dim(\ker B \cap W) = \dim \ker B = s - \operatorname{rank}(B)$。
公式：$\dim \ker B = s - \operatorname{rank}(B)$
提示：验证包含关系：$\ker B \subseteq W$ 是关键，否则不能直接替换。
步骤 5/5
目标：代入计算dim V
将 $\dim W = s - \operatorname{rank}(AB)$ 和 $\dim(\ker B \cap W) = s - \operatorname{rank}(B)$ 代入 $\dim V = \dim W - \dim(\ker B \cap W)$，得 $\dim V = (s - \operatorname{rank}(AB)) - (s - \operatorname{rank}(B)) = \operatorname{rank}(B) - \operatorname{rank}(AB)$。
提示：注意符号：$\operatorname{rank}(B) - \operatorname{rank}(AB)$ 可能非负，因为 $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。