北京邮电大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
九．设随机变量 $X$ 的分布律为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k}}, k=1,2, \cdots$ ，令 $\displaystyle Y=\sin \left(\frac{\pi}{2} X\right)$ ．
（1）求 $Y$ 的分部律．
（2）设随机变量序列 $\displaystyle \left\{Y_{n}, n=1,2, \cdots\right\}$ 独立同分布，且与 $Y$ 有相同的分布函数．
$\displaystyle (2-1)$ 对于任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，利用切比雪夫不等式证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2}{5}\right|>\varepsilon\right)=0
$$
$\displaystyle (2-2)$ 设常数 $\displaystyle a>0$ ，满足 $\displaystyle \Phi\left(\sqrt{\frac{75}{38}}\right)=a$ ，其中 $\displaystyle \Phi$ 为标准正态分布的分布函数，求
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2 n}{5}\right|>1\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算Y的可能取值及对应概率
X的分布律为$P\{X=k\}=\frac{1}{2^k}, k=1,2,\dots$。令$Y=\sin\left(\frac{\pi}{2}X\right)$。由于正弦函数的周期性，当$X$模4余1时，$Y=1$；余2或0时，$Y=0$；余3时，$Y=-1$。分别求和：
$$P(Y=1)=\sum_{m=0}^\infty P\{X=4m+1\}=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{2^{4m+1}}=\frac{1/2}{1-1/16}=\frac{8}{15}$$
$$P(Y=-1)=\sum_{m=0}^\infty P\{X=4m+3\}=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{2^{4m+3}}=\frac{1/8}{1-1/16}=\frac{2}{15}$$
$$P(Y=0)=1-\frac{8}{15}-\frac{2}{15}=\frac{1}{3}$$
公式：几何级数求和公式：$\sum_{m=0}^\infty r^m = \frac{1}{1-r}$，其中$|r|<1$
提示：注意正弦函数周期为4，正确分类X模4的余数；求和时注意首项和公比
步骤 2/4
目标：计算Y的期望和方差
由分布律计算期望：
$$E(Y)=1\cdot\frac{8}{15}+0\cdot\frac{1}{3}+(-1)\cdot\frac{2}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$
计算二阶矩：
$$E(Y^2)=1^2\cdot\frac{8}{15}+0^2\cdot\frac{1}{3}+(-1)^2\cdot\frac{2}{15}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$
方差：
$$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=\frac{2}{3}-\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{2}{3}-\frac{4}{25}=\frac{50}{75}-\frac{12}{75}=\frac{38}{75}$$
公式：$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$
提示：计算方差时注意分数通分，避免计算错误
步骤 3/4
目标：应用切比雪夫不等式证明(2-1)
设$S_n=\sum_{k=1}^n Y_k$，则$E(S_n)=n\cdot\frac{2}{5}$，$D(S_n)=n\cdot\frac{38}{75}$。由切比雪夫不等式：
$$P\left(\left|\frac{1}{n}S_n-\frac{2}{5}\right|>\varepsilon\right)\leq\frac{D(S_n/n)}{\varepsilon^2}=\frac{D(S_n)}{n^2\varepsilon^2}=\frac{38}{75n\varepsilon^2}$$
当$n\to\infty$时，右边趋于0，故极限为0。
公式：切比雪夫不等式：$P(|X-\mu|>\varepsilon)\leq\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$
提示：注意将$\frac{1}{n}S_n$的方差正确表达为$D(S_n)/n^2$
步骤 4/4
目标：应用中心极限定理求(2-2)的极限
由中心极限定理，$\frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$近似服从标准正态分布，其中$\mu=E(Y)=\frac{2}{5}$，$\sigma^2=D(Y)=\frac{38}{75}$，$\sigma=\sqrt{\frac{38}{75}}$。则
$$\lim_{n\to\infty}P\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\sum_{k=1}^n Y_k-\frac{2n}{5}\right|>1\right)=\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right|>\frac{1}{\sigma}\right)=2\left[1-\Phi\left(\frac{1}{\sigma}\right)\right]$$
计算$\frac{1}{\sigma}=\sqrt{\frac{75}{38}}$，已知$\Phi\left(\sqrt{\frac{75}{38}}\right)=a$，故极限为$2(1-a)$。
公式：中心极限定理：$\frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\xrightarrow{d} N(0,1)$
提示：注意绝对值转化为双侧概率时乘以2；正确计算$1/\sigma$
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