北京邮电大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．独立重复进行伯努利实验，假设每次实验结果为 $A$ 和 $\displaystyle \bar{A}$ ，且满足 $\displaystyle P(A)=p \in(0,1)$ ，设 $\displaystyle x_{k}$ 表示实验结果 $A$ 第 $k$ 次出现所需的试验次数，$\displaystyle k=1,2, \cdots$ ，令 $\displaystyle m, n$ 为正整数．
（1）求概率 $\displaystyle P\left(x_{1}=n, x_{3}=m+n+1\right)$ ．
（2）求条件概率 $\displaystyle P\left(x_{1}=m \mid x_{2}=m+n\right)$ ．
（3）求数学期望 $\displaystyle E\left[x_{k}\right]$ 和方差 $\displaystyle D\left[x_{k}\right], k=1,2, \cdots$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析事件含义
事件 $\{x_1=n, x_3=m+n+1\}$ 表示第一次成功发生在第 $n$ 次试验，第三次成功发生在第 $m+n+1$ 次试验。由于第一次成功在第 $n$ 次，从第 $n+1$ 次到第 $m+n$ 次共 $m$ 次试验中恰好有1次成功，且第 $m+n+1$ 次成功。
提示：注意 $x_3$ 是第三次成功发生的试验次数，不是第三次试验。
步骤 2/6
目标：计算联合概率
第一次成功在第 $n$ 次的概率为 $p(1-p)^{n-1}$。在接下来的 $m$ 次试验中恰有1次成功的概率为 $\binom{m}{1}p(1-p)^{m-1}$。第 $m+n+1$ 次成功的概率为 $p$。由于独立性，总概率为：
$$P = p(1-p)^{n-1} \cdot \binom{m}{1}p(1-p)^{m-1} \cdot p = m p^3 (1-p)^{n+m-1}.$$
公式：几何分布概率公式 $P(X=n)=p(1-p)^{n-1}$，二项分布概率公式 $P(\text{恰有1次成功})=\binom{m}{1}p(1-p)^{m-1}$
提示：注意 $m$ 是正整数，$n$ 也是正整数，且 $m\ge1$。
步骤 3/6
目标：计算条件概率分母
事件 $\{x_2=m+n\}$ 表示第二次成功发生在第 $m+n$ 次试验。这意味着前 $m+n-1$ 次试验中恰有1次成功，且第 $m+n$ 次成功。概率为：
$$P(x_2=m+n) = \binom{m+n-1}{1} p (1-p)^{m+n-2} \cdot p = (m+n-1) p^2 (1-p)^{m+n-2}.$$
公式：负二项分布概率公式 $P(X=n)=\binom{n-1}{k-1}p^k(1-p)^{n-k}$，这里 $k=2$
提示：注意组合数下标是 $m+n-1$，不是 $m+n$。
步骤 4/6
目标：计算条件概率分子
事件 $\{x_1=m, x_2=m+n\}$ 表示第一次成功在第 $m$ 次，第二次成功在第 $m+n$ 次。这意味着第 $m$ 次成功，然后从第 $m+1$ 次到第 $m+n-1$ 次（共 $n-1$ 次）没有成功，且第 $m+n$ 次成功。概率为：
$$P(x_1=m, x_2=m+n) = p(1-p)^{m-1} \cdot (1-p)^{n-1} \cdot p = p^2 (1-p)^{m+n-2}.$$
公式：几何分布概率公式
提示：注意中间 $n-1$ 次试验必须全部失败，不能有成功。
步骤 5/6
目标：计算条件概率
条件概率为分子除以分母：
$$P(x_1=m \mid x_2=m+n) = \frac{p^2 (1-p)^{m+n-2}}{(m+n-1) p^2 (1-p)^{m+n-2}} = \frac{1}{m+n-1}.$$
公式：条件概率公式 $P(A|B)=P(AB)/P(B)$
提示：结果与 $p$ 无关，只与 $m,n$ 有关。
步骤 6/6
目标：求期望和方差
$x_k$ 表示第 $k$ 次成功所需的试验次数，服从负二项分布（帕斯卡分布）。$x_k$ 可分解为 $k$ 个独立同分布的几何随机变量之和，每个几何分布（第一次成功所需次数）的期望为 $1/p$，方差为 $(1-p)/p^2$。因此：
$$E[x_k] = k \cdot \frac{1}{p} = \frac{k}{p},$$
$$D[x_k] = k \cdot \frac{1-p}{p^2} = \frac{k(1-p)}{p^2}.$$
公式：几何分布的期望 $E[X]=1/p$，方差 $D[X]=(1-p)/p^2$；独立随机变量和的期望与方差可加
提示：注意 $x_k$ 不是几何分布，而是负二项分布。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。