北京邮电大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y e^{-y(1+x)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 令 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}U=X Y, \\ V=Y .\end{array}\right.$
（1）求 $\displaystyle (U, V)$ 的概率密度函数 $\displaystyle g(u, v)$ ．
（2）求 $\displaystyle U, V$ 的边缘概率密度函数 $\displaystyle g_{U}(u)$ 和 $\displaystyle g_{V}(v)$ ，并判别 $\displaystyle U, V$ 的独立性．
（3）求 $\displaystyle Z=U+V$ 的概率密度函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出已知联合密度和变换
已知 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数为：
$$f(x,y) = \begin{cases} y e^{-y(1+x)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$
变换：
$$\begin{cases} U = XY, \\ V = Y. \end{cases}$$
提示：注意变换的定义域：$x>0, y>0$ 对应 $u>0, v>0$。
步骤 2/7
目标：求反函数和雅可比行列式
反函数：
$$\begin{cases} X = U/V, \\ Y = V. \end{cases}$$
雅可比行列式：
$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/v & -u/v^2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{v}.$$
公式：雅可比行列式公式
提示：计算雅可比行列式时注意符号，取绝对值。
步骤 3/7
目标：计算(U,V)的联合密度
代入变换公式：
$$g(u,v) = f\left(\frac{u}{v}, v\right) |J| = v e^{-v(1+u/v)} \cdot \frac{1}{v} = e^{-v - u},$$
当 $u>0, v>0$ 时成立，否则为0。所以
$$g(u,v) = \begin{cases} e^{-u} e^{-v}, & u>0, v>0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$
公式：随机变量变换的密度公式：$g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))|J|$
提示：注意化简：$v e^{-v(1+u/v)} = v e^{-v} e^{-u}$，乘以 $1/v$ 得 $e^{-u} e^{-v}$。
步骤 4/7
目标：求U的边缘密度
$$g_U(u) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u,v) \, dv = \int_0^\infty e^{-u} e^{-v} \, dv = e^{-u} \int_0^\infty e^{-v} \, dv = e^{-u}, \quad u>0.$$
公式：边缘密度公式：$g_U(u)=\int g(u,v) dv$
提示：积分限由 $v>0$ 确定。
步骤 5/7
目标：求V的边缘密度
$$g_V(v) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u,v) \, du = \int_0^\infty e^{-u} e^{-v} \, du = e^{-v} \int_0^\infty e^{-u} \, du = e^{-v}, \quad v>0.$$
公式：边缘密度公式：$g_V(v)=\int g(u,v) du$
提示：积分限由 $u>0$ 确定。
步骤 6/7
目标：判断U与V的独立性
由于 $g(u,v) = e^{-u} e^{-v} = g_U(u) g_V(v)$ 对所有 $u,v$ 成立，所以 $U$ 与 $V$ 相互独立。
公式：独立性判别：$g(u,v)=g_U(u)g_V(v)$
提示：注意检查定义域是否可分离，此处 $u>0, v>0$ 也是乘积形式。
步骤 7/7
目标：求Z=U+V的密度（卷积公式）
由于 $U$ 与 $V$ 独立且均服从参数为1的指数分布，$Z$ 的密度为卷积：
$$h(z) = \int_{-\infty}^{\infty} g_U(u) g_V(z-u) \, du.$$
当 $z>0$ 时，$u>0$ 且 $z-u>0$ 即 $00.$$
当 $z \leq 0$ 时，$h(z)=0$。因此
$$h(z) = \begin{cases} z e^{-z}, & z>0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$
公式：卷积公式：$h(z)=\int f_U(u) f_V(z-u) du$
提示：注意积分限由 $u>0$ 和 $z-u>0$ 共同确定。
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