华东师范大学 2014年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 的特征值互不相同。定义
$$
C(A)=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A B=B A\right\}
$$
（1）．验证：$\displaystyle C(A)$ 是复线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间；
（2）．证明：对于任意 $\displaystyle B, C \in C(A)$ ，有 $\displaystyle B C=C B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证零矩阵属于C(A)
零矩阵 $0$ 满足 $A0 = 0 = 0A$，因此 $0 \in C(A)$。
提示：注意零矩阵与任何矩阵可交换。
步骤 2/7
目标：验证加法封闭性
设 $B, C \in C(A)$，则 $AB = BA$，$AC = CA$。计算 $A(B+C) = AB + AC = BA + CA = (B+C)A$，所以 $B+C \in C(A)$。
公式：A(B+C) = AB + AC
提示：利用矩阵乘法分配律。
步骤 3/7
目标：验证数乘封闭性
设 $B \in C(A)$，$k \in \mathbb{C}$，则 $A(kB) = k(AB) = k(BA) = (kB)A$，所以 $kB \in C(A)$。
公式：A(kB) = k(AB)
提示：数乘与矩阵乘法可交换。
步骤 4/7
目标：总结子空间验证
由以上三点，$C(A)$ 是 $M_n(\mathbb{C})$ 的线性子空间。
提示：子空间需满足包含零、加法封闭、数乘封闭。
步骤 5/7
目标：利用特征值互不相同对角化A
由于 $A$ 的特征值互不相同，$A$ 可对角化。存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 互不相同。
公式：P^{-1}AP = \Lambda
提示：特征值互不相同保证可对角化。
步骤 6/7
目标：证明C(A)中矩阵对角化后为对角矩阵
对任意 $B \in C(A)$，由 $AB = BA$ 得 $\Lambda (P^{-1}BP) = (P^{-1}BP) \Lambda$。设 $\tilde{B} = P^{-1}BP = (b_{ij})$，则 $\lambda_i b_{ij} = b_{ij} \lambda_j$。当 $i \neq j$ 时 $\lambda_i \neq \lambda_j$，故 $b_{ij}=0$，所以 $\tilde{B}$ 是对角矩阵。
公式：\lambda_i b_{ij} = b_{ij} \lambda_j
提示：注意 $i \neq j$ 时 $\lambda_i - \lambda_j \neq 0$。
步骤 7/7
目标：证明C(A)中任意两个矩阵可交换
同理，对 $C \in C(A)$，$\tilde{C} = P^{-1}CP$ 也是对角矩阵。对角矩阵乘法可交换，故 $\tilde{B}\tilde{C} = \tilde{C}\tilde{B}$，即 $P^{-1}BCP = P^{-1}CBP$，左乘 $P$ 右乘 $P^{-1}$ 得 $BC = CB$。
公式：\tilde{B}\tilde{C} = \tilde{C}\tilde{B}
提示：对角矩阵乘法交换是关键的中间结论。
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