华东师范大学 2014年高等代数第4题

设 $\mathscr{A}$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}$。则 $\mathscr{A}$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)^2(\lambda-3)^2$，特征值为 $1$（代数重数2）和 $3$（代数重数2）。

对于特征值 $1$：解 $(A-I)X=0$，即 $\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}X=0$，得 $x_2=0,x_3=0,x_4=0$，$x_1$ 自由。故特征子空间 $V_1=\mathrm{span}\{\alpha_1\}$，维数1。 对于特征值 $3$：解 $(A-3I)X=0$，即 $\begin{pmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}X=0$，得 $x_1=0,x_2=0$，$x_3,x_4$ 自由。故特征子空间 $V_3=\mathrm{span}\{\alpha_3,\alpha_4\}$，维数2。

对于特征值 $1$：计算 $(A-I)^2=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&4&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$，秩为2，零空间维数2。解 $(A-I)^2X=0$ 得 $x_3=0,x_4=0$，$x_1,x_2$ 自由。故根子空间 $R_1=\mathrm{span}\{\alpha_1,\alpha_2\}$，维数2。 对于特征值 $3$：计算 $(A-3I)^2=\begin{pmatrix}4&-4&0&0\\0&4&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$，秩为2，零空间维数2。解 $(A-3I)^2X=0$ 得 $x_1=0,x_2=0$，$x_3,x_4$ 自由。故根子空间 $R_3=\mathrm{span}\{\alpha_3,\alpha_4\}=V_3$，维数2。

在 $R_1$ 中，$\mathscr{A}|_{R_1}$ 的矩阵为 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$（Jordan块），其不变子空间有：$0$，$\mathrm{span}\{\alpha_1\}$（特征子空间），$R_1$ 本身。注意 $\mathrm{span}\{\alpha_2\}$ 不是不变子空间，因为 $\mathscr{A}\alpha_2=\alpha_1+\alpha_2$ 不在其中。 在 $R_3$ 中，$\mathscr{A}|_{R_3}$ 是数量变换 $3\mathscr{I}$，其不变子空间为 $R_3$ 的所有子空间，即：$0$，所有一维子空间 $\mathrm{span}\{a\alpha_3+b\alpha_4\}$（$(a,b)\neq(0,0)$），以及 $R_3$ 本身。

所有 $\mathscr{A}$-不变子空间为 $R_1$ 和 $R_3$ 中不变子空间的直和，即： 1. $0$； 2. $\mathrm{span}\{\alpha_1\}$； 3. $R_1=\mathrm{span}\{\alpha_1,\alpha_2\}$； 4. $R_3$ 的一维子空间：$\mathrm{span}\{a\alpha_3+b\alpha_4\}$，$(a,b)\neq(0,0)$； 5. $R_3$ 本身：$\mathrm{span}\{\alpha_3,\alpha_4\}$； 6. $\mathrm{span}\{\alpha_1\}\oplus R_3 = \mathrm{span}\{\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\}$； 7. $R_1\oplus \mathrm{span}\{a\alpha_3+b\alpha_4\}$，$(a,b)\neq(0,0)$，即 $\mathrm{span}\{\alpha_1,\alpha_2,a\alpha_3+b\alpha_4\}$； 8. $R_1\oplus R_3 = V$。 注意：$\mathrm{span}\{\alpha_2\}$ 不是不变子空间。