华东师范大学 2014年高等代数第5题
📝 题目
5．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定矩阵，且存在整数 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=E_{n}$ ，求 $A$ ；若将上述＂半正定＂的条件改为＂半负定＂，你能得出什么结论？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析半正定矩阵的性质
由于 $A$ 是实对称半正定矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i \ge 0$。
公式：A = Q \Lambda Q^T
提示：注意半正定矩阵的特征值非负，且可正交对角化。
步骤 2/6
目标：利用条件 $A^m = E_n$ 得到特征值方程
由 $A^m = E_n$ 得 $Q \Lambda^m Q^T = E_n$，即 $\Lambda^m = E_n$，因此 $\lambda_i^m = 1$ 对所有 $i$ 成立。
公式：\Lambda^m = E_n
提示：注意正交对角化后，幂运算转化为特征值的幂。
步骤 3/6
目标：求解特征值
由于 $\lambda_i \ge 0$ 且 $\lambda_i^m = 1$，所以 $\lambda_i = 1$。因此 $\Lambda = E_n$。
公式：\lambda_i = 1
提示：非负数的 $m$ 次幂为1，则该数必为1。
步骤 4/6
目标：得到半正定情况下的 $A$
由 $\Lambda = E_n$ 得 $A = Q E_n Q^T = E_n$。
公式：A = E_n
提示：正交变换不改变单位矩阵。
步骤 5/6
目标：分析半负定情况
若 $A$ 半负定，则 $-A$ 半正定。由 $A^m = E_n$ 得 $(-A)^m = (-1)^m E_n$。
公式：(-A)^m = (-1)^m E_n
提示：注意负号提取时幂次的影响。
步骤 6/6
目标：分奇偶讨论 $m$
若 $m$ 为偶数，则 $(-A)^m = E_n$，由半正定情况得 $-A = E_n$，即 $A = -E_n$。若 $m$ 为奇数，则 $(-A)^m = -E_n$，但 $-A$ 半正定，其幂仍半正定，而 $-E_n$ 负定，矛盾，故无解。
公式：m \text{ 为偶数时 } A = -E_n; \ m \text{ 为奇数时无解}
提示：注意半正定矩阵的幂仍半正定，负定矩阵不能等于半正定矩阵。
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