华东师范大学 2014年高等代数第6题
📝 题目
6．（20 分）设 $V$ 是实数域上的 $n$ 维欧式空间，$\displaystyle e_{1}, \cdots, e_{n}$ 是一组基，满足内积 $\displaystyle \left(e_{i}, e_{j}\right) \leqslant 0(i \neq j)$ 。
（1）．证明：存在一个非零向量 $\displaystyle v \in V$ ，满足 $\displaystyle \left(e_{i}, v\right) \geqslant 0, \forall i$ ．
（2）．假设 $\displaystyle v=a_{1} e_{1}+\cdots+a_{n} e_{n} \in V$ 是任何满足（1）的向量，证明：$\displaystyle a_{i} \geqslant 0, i=1,2, \cdots, n$ ．
（3）．设 $\displaystyle u=b_{1} e_{1}+\cdots+b_{n} e_{n} \in V$ 是另一个满足（1）的向量，并定义 $\displaystyle w=c_{1} e_{1}+\cdots+c_{n} e_{n} \in V$ ，其中
$$
c_{i}=\min \left\{a_{i}, b_{i}\right\}, i=1,2, \cdots, n,
$$
证明：向量 $w$ 也满足（1）。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造满足条件的非零向量
考虑向量 $v = e_1 + e_2 + \cdots + e_n$。由于内积满足 $(e_i, e_j) \leq 0$ 当 $i \neq j$，且 $(e_i, e_i) > 0$，计算 $(e_i, v) = (e_i, e_i) + \sum_{j \neq i} (e_i, e_j) \geq (e_i, e_i) > 0$。因此 $v$ 非零且满足 $(e_i, v) \geq 0$ 对所有 $i$。
公式：$(e_i, v) = (e_i, e_i) + \sum_{j \neq i} (e_i, e_j)$
提示：注意内积的正定性：$(e_i, e_i) > 0$，且非对角元非正。
步骤 2/5
目标：证明系数非负（利用M-矩阵性质）
设 $\mathbf{a} = (a_1, \ldots, a_n)^T$，内积矩阵 $G = ((e_i, e_j))$。条件 $(e_i, v) \geq 0$ 等价于 $G\mathbf{a} \geq 0$（分量wise）。由于 $G$ 是正定矩阵且非对角元非正，它是 $M$-矩阵，其逆矩阵 $G^{-1}$ 非负。因此 $\mathbf{a} = G^{-1}(G\mathbf{a}) \geq 0$，即 $a_i \geq 0$。
公式：$G\mathbf{a} \geq 0 \Rightarrow \mathbf{a} = G^{-1}(G\mathbf{a}) \geq 0$
提示：需要用到M-矩阵的逆非负性质，这是关键。
步骤 3/5
目标：证明系数非负（直接反证法）
假设存在某个 $a_k < 0$。考虑 $(e_k, v) = a_k (e_k, e_k) + \sum_{j \neq k} a_j (e_k, e_j)$。由于 $(e_k, e_k) > 0$，$a_k < 0$，且 $(e_k, e_j) \leq 0$，但 $a_j$ 符号未知，无法直接推出矛盾。因此反证法不直接，需用M-矩阵方法。
提示：反证法在此处不适用，因为 $a_j$ 可能为负，导致 $(e_k, e_j)$ 项为正。
步骤 4/5
目标：证明取最小值的向量也满足条件
设 $c_i = \min\{a_i, b_i\}$。计算 $(e_i, w) = c_i (e_i, e_i) + \sum_{j \neq i} c_j (e_i, e_j)$。由于 $c_j \leq a_j$ 且 $c_j \leq b_j$，且 $(e_i, e_j) \leq 0$，有 $c_j (e_i, e_j) \geq a_j (e_i, e_j)$ 和 $c_j (e_i, e_j) \geq b_j (e_i, e_j)$。因此 $(e_i, w) \geq c_i (e_i, e_i) + \sum_{j \neq i} a_j (e_i, e_j)$ 和 $(e_i, w) \geq c_i (e_i, e_i) + \sum_{j \neq i} b_j (e_i, e_j)$。
公式：$c_j (e_i, e_j) \geq a_j (e_i, e_j)$ 当 $(e_i, e_j) \leq 0$
提示：注意不等式方向：乘以非正数时不等号反转。
步骤 5/5
目标：分情况讨论得到非负性
若 $c_i = a_i$（即 $a_i \leq b_i$），则 $(e_i, w) \geq a_i (e_i, e_i) + \sum_{j \neq i} a_j (e_i, e_j) = (e_i, v) \geq 0$。若 $c_i = b_i$，则 $(e_i, w) \geq (e_i, u) \geq 0$。因此对所有 $i$，$(e_i, w) \geq 0$。
提示：分情况讨论时，注意 $c_i$ 取哪个值，代入对应的不等式。
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