华东师范大学 2017年高等代数第6题
📝 题目
6．（10 分）给定 $\displaystyle m+n$ 阶分块方阵
$$
A=\left(\begin{array}{cc}
0_{m} & B_{m \times n} \\
C_{n \times m} & 0_{n}
\end{array}\right),
$$
证明：若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle -\lambda$ 也为 $A$ 的特征值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则存在非零向量 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} \mathbf{u} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix}$，其中 $\mathbf{u} \in \mathbb{C}^m$，$\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$，使得 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。
公式：A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}
提示：注意特征向量非零，且分块向量维度对应。
步骤 2/7
目标：写出分块矩阵方程
将 $A$ 和 $\mathbf{x}$ 代入特征方程：
$$
\begin{pmatrix} 0 & B \\ C & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{u} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} \mathbf{u} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix}.
$$
这给出方程组：
$$
B\mathbf{v} = \lambda \mathbf{u}, \quad C\mathbf{u} = \lambda \mathbf{v}.
$$
公式：B\mathbf{v} = \lambda \mathbf{u}, \quad C\mathbf{u} = \lambda \mathbf{v}
提示：分块乘法要正确，注意零矩阵块。
步骤 3/7
目标：构造新向量
考虑向量 $\mathbf{y} = \begin{pmatrix} \mathbf{u} \\ -\mathbf{v} \end{pmatrix}$。
提示：注意符号变化，确保新向量非零。
步骤 4/7
目标：计算新向量与A的乘积
计算 $A\mathbf{y}$：
$$
A\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 0 & B \\ C & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{u} \\ -\mathbf{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -B\mathbf{v} \\ C\mathbf{u} \end{pmatrix}.
$$
提示：分块乘法时注意负号。
步骤 5/7
目标：利用已知关系化简
由 $B\mathbf{v} = \lambda \mathbf{u}$ 和 $C\mathbf{u} = \lambda \mathbf{v}$，代入得：
$$
A\mathbf{y} = \begin{pmatrix} -\lambda \mathbf{u} \\ \lambda \mathbf{v} \end{pmatrix} = -\lambda \begin{pmatrix} \mathbf{u} \\ -\mathbf{v} \end{pmatrix} = -\lambda \mathbf{y}.
$$
公式：A\mathbf{y} = -\lambda \mathbf{y}
提示：注意提取负号时向量分量的符号。
步骤 6/7
目标：验证新向量非零
由于 $\mathbf{x} \neq 0$，则 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 不全为零，因此 $\mathbf{y} \neq 0$。
提示：如果 $\mathbf{u}=0$ 且 $\mathbf{v}=0$，则 $\mathbf{x}=0$，矛盾。
步骤 7/7
目标：得出结论
所以 $\mathbf{y}$ 是 $A$ 的属于特征值 $-\lambda$ 的特征向量，即 $-\lambda$ 也是 $A$ 的特征值。
提示：特征值成对出现，符号相反。
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