华东师范大学 2017年高等代数第8题
📝 题目
8．（15 分）设 $\displaystyle f: U \rightarrow V, g: V \rightarrow W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上有限维的线性映射，证明：
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\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} f)+\operatorname{dim}(\operatorname{Im} f \cap \operatorname{Ker} g)=\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(g f))
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并建立子空间关系
设 $U, V, W$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，$f: U \to V$, $g: V \to W$ 是线性映射。考虑复合映射 $gf: U \to W$。我们需要证明：$\dim(\ker f) + \dim(operatorname{Im} f \cap \ker g) = \dim(\ker(gf))$。首先，注意到 $\ker(gf) = \{ u \in U \mid g(f(u)) = 0 \}$，这等价于 $f(u) \in \ker g$。由于 $f(u) \in \operatorname{Im} f$，因此 $f(u) \in \operatorname{Im} f \cap \ker g$。反之，若 $f(u) \in \operatorname{Im} f \cap \ker g$，则 $g(f(u))=0$，故 $u \in \ker(gf)$。所以 $\ker(gf) = f^{-1}(\operatorname{Im} f \cap \ker g)$。
公式：$\ker(gf) = f^{-1}(\operatorname{Im} f \cap \ker g)$
提示：注意 $\ker(gf)$ 中的元素 $u$ 满足 $f(u)$ 既在 $\operatorname{Im} f$ 中又在 $\ker g$ 中。
步骤 2/5
目标：考虑 $f$ 在 $\ker(gf)$ 上的限制映射
定义 $f|_{\ker(gf)}: \ker(gf) \to V$，其像为 $f(\ker(gf)) = \operatorname{Im} f \cap \ker g$。因为 $\ker(gf)$ 中的元素映射到 $\operatorname{Im} f \cap \ker g$，且每个 $v \in \operatorname{Im} f \cap \ker g$ 存在原像 $u$ 使得 $f(u)=v$，且 $u \in \ker(gf)$（因为 $g(v)=0$）。所以 $f|_{\ker(gf)}$ 的像恰好是 $\operatorname{Im} f \cap \ker g$。
公式：$\operatorname{Im}(f|_{\ker(gf)}) = \operatorname{Im} f \cap \ker g$
提示：注意 $f|_{\ker(gf)}$ 的定义域是 $\ker(gf)$，而不是整个 $U$。
步骤 3/5
目标：确定限制映射的核
考虑 $f|_{\ker(gf)}$ 的核：$\ker(f|_{\ker(gf)}) = \{ u \in \ker(gf) \mid f(u)=0 \} = \ker f \cap \ker(gf)$。由于 $\ker f \subseteq \ker(gf)$（因为若 $f(u)=0$，则 $g(f(u))=0$），所以 $\ker f \cap \ker(gf) = \ker f$。因此 $\ker(f|_{\ker(gf)}) = \ker f$。
公式：$\ker(f|_{\ker(gf)}) = \ker f$
提示：注意 $\ker f \subseteq \ker(gf)$ 是因为 $f(u)=0$ 推出 $g(f(u))=0$。
步骤 4/5
目标：应用维数公式
对线性映射 $f|_{\ker(gf)}: \ker(gf) \to \operatorname{Im} f \cap \ker g$ 应用维数公式：$\dim(\ker(gf)) = \dim(\ker(f|_{\ker(gf)})) + \dim(\operatorname{Im}(f|_{\ker(gf)}))$。代入核和像的表达式，得到 $\dim(\ker(gf)) = \dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f \cap \ker g)$。
公式：$\dim X = \dim \ker T + \dim \operatorname{Im} T$
提示：维数公式适用于线性映射，注意这里 $T = f|_{\ker(gf)}$，定义域是 $\ker(gf)$。
步骤 5/5
目标：得出结论
由上式直接得到 $\dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f \cap \ker g) = \dim(\ker(gf))$，即待证等式成立。
提示：检查等式两边是否一致，注意 $\operatorname{Im} f \cap \ker g$ 的维数可能为0。
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