华东师范大学 2020年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ ，是线性空间 $V$ 中的 $\displaystyle 2 n$ 个向量．已知对任意的 $\displaystyle 1 \leqslant k \leqslant n$ 以及 $\displaystyle 1 \leqslant i_{1}<\cdots<i_{k} \leqslant n, \alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \ldots, \alpha_{i_{k}}$ 线性相关当且仅当 $\displaystyle \beta_{i_{1}}, \beta_{i_{2}}, \ldots, \beta_{i_{k}}$ 线性相关。求证向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 的秩与向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ 的秩相同。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设定秩并假设反证
设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 的秩为 $r$，向量组 $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$ 的秩为 $s$。要证 $r=s$，先证 $r\leq s$。假设 $r>s$，则存在 $r$ 个线性无关的 $\alpha$ 向量，不妨设为 $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$。
提示：注意秩的定义：最大线性无关组所含向量个数。
步骤 2/4
目标：利用已知条件推出矛盾
由已知条件，对于这 $r$ 个指标，$\beta_{i_1},\ldots,\beta_{i_r}$ 也线性无关（因为若它们线性相关，则 $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 也线性相关，矛盾）。但 $\beta$ 组的秩为 $s
提示：注意：已知条件中“线性相关当且仅当”意味着线性无关性也对应。
步骤 3/4
目标：对称地证明反向不等式
同理，假设 $s>r$，则存在 $s$ 个线性无关的 $\beta$ 向量，设为 $\beta_{j_1},\ldots,\beta_{j_s}$。由已知条件，$\alpha_{j_1},\ldots,\alpha_{j_s}$ 也线性无关，但 $\alpha$ 组的秩为 $r
提示：注意对称性：条件对 $\alpha$ 和 $\beta$ 是对称的。
步骤 4/4
目标：得出结论
由 $r\leq s$ 和 $s\leq r$ 得 $r=s$，即向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 的秩与向量组 $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$ 的秩相同。
提示：最终结论要明确写出。
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