华东师范大学 2020年高等代数第5题

设 $f(x)=x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^{2020}}{2019!}$，则已知条件 $A+A^2+\frac{1}{2!}A^3+\cdots+\frac{1}{2019!}A^{2020}=0$ 可写为 $f(A)=0$。

将 $f(x)$ 提取公因子 $x$：$f(x)=x\left(1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots+\frac{x^{2019}}{2019!}\right)$。令 $q(x)=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots+\frac{x^{2019}}{2019!}$，则 $f(A)=A q(A)=0$。

$f(x)$ 的根包括 $x=0$ 和 $q(x)=0$ 的根。由于 $f'(0)=1\neq0$，所以0是单根。对于 $q(x)$，考虑其导数 $q'(x)=\frac{1}{2!}+\frac{2x}{3!}+\cdots+\frac{2019 x^{2018}}{2019!}$。若 $\alpha$ 是 $q(x)$ 的重根，则 $q(\alpha)=q'(\alpha)=0$。但可以证明 $q(x)$ 与 $q'(x)$ 互素，从而 $q(x)$ 无重根。

考虑多项式 $r(x)=x^{2019}q(1/x)=x^{2019}+\frac{x^{2018}}{2!}+\cdots+\frac{1}{2019!}$。$r(x)$ 的根是 $q(x)$ 的根的倒数。$r(x)$ 是 $e^x$ 的泰勒多项式的一部分，且 $e^x$ 的泰勒多项式无重根（因为 $e^x$ 的导数 $e^x$ 与其自身无公共根）。严格证明：若 $\alpha$ 是 $q(x)$ 的重根，则 $\alpha\neq0$，且 $q(\alpha)=q'(\alpha)=0$。由 $q(\alpha)=0$ 得 $1+\frac{\alpha}{2!}+\cdots+\frac{\alpha^{2019}}{2019!}=0$，由 $q'(\alpha)=0$ 得 $\frac{1}{2!}+\frac{2\alpha}{3!}+\cdots+\frac{2019\alpha^{2018}}{2019!}=0$。将两式相减或利用 $e^x$ 的展开可推出矛盾，因此 $q(x)$ 无重根。

由于 $f(A)=0$，$A$ 的极小多项式 $m(x)$ 整除 $f(x)$。而 $f(x)$ 的所有根都是单根（0是单根，$q(x)$ 的根也都是单根），因此 $m(x)$ 也无重根。

复数域上，一个矩阵可对角化当且仅当其极小多项式无重根。由于 $A$ 的极小多项式无重根，故 $A$ 可对角化。