华东师范大学 2020年高等代数第6题
📝 题目
6．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，令 $\displaystyle L(A, B)=\left\{X \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A X B=0\right\}$ 。
（1）．验证 $\displaystyle L(A, B)$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间．
（2）．设 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r, \operatorname{rank}(B)=s$ ．求 $\displaystyle \operatorname{dim} L(A, B)$ 。（用 $\displaystyle n, r, s$ 表示）。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证零矩阵属于L(A,B)
取 $X=0$，则 $A \cdot 0 \cdot B = 0$，所以 $0 \in L(A,B)$。
提示：注意零矩阵是任何线性子空间的元素。
步骤 2/6
目标：验证加法封闭性
设 $X, Y \in L(A,B)$，则 $AXB=0$ 且 $AYB=0$。于是 $A(X+Y)B = AXB + AYB = 0+0=0$，所以 $X+Y \in L(A,B)$。
公式：A(X+Y)B = AXB + AYB
提示：利用矩阵乘法的分配律。
步骤 3/6
目标：验证数乘封闭性
设 $X \in L(A,B)$，$k \in \mathbb{C}$，则 $A(kX)B = k(AXB) = k \cdot 0 = 0$，所以 $kX \in L(A,B)$。
公式：A(kX)B = k(AXB)
提示：数乘与矩阵乘法可交换顺序。
步骤 4/6
目标：定义线性映射并利用维数公式
定义线性映射 $\Phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$，$\Phi(X)=AXB$。则 $L(A,B)=\ker\Phi$。由维数公式：$\dim M_n(\mathbb{C}) = \dim\ker\Phi + \dim\operatorname{Im}\Phi$，即 $n^2 = \dim L(A,B) + \dim\operatorname{Im}\Phi$。
公式：n^2 = \dim L(A,B) + \dim\operatorname{Im}\Phi
提示：维数公式适用于线性映射。
步骤 5/6
目标：计算ImΦ的维数
将 $M_n(\mathbb{C})$ 视为 $\mathbb{C}^n \otimes (\mathbb{C}^n)^*$，则 $\Phi$ 对应 $A \otimes B^T$ 的作用。由于 $\operatorname{rank}(A \otimes B^T) = \operatorname{rank}(A) \cdot \operatorname{rank}(B) = rs$，所以 $\dim\operatorname{Im}\Phi = rs$。
公式：\dim\operatorname{Im}\Phi = rs
提示：Kronecker积的秩等于因子秩的乘积。
步骤 6/6
目标：得出L(A,B)的维数
代入维数公式：$\dim L(A,B) = n^2 - rs$。
公式：\dim L(A,B) = n^2 - rs
提示：注意秩r和s分别是A和B的秩。
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