华东师范大学 2020年高等代数第7题

设 $A, B, C$ 在 $M_2(\mathbb{C})$ 中线性无关。定义线性映射 $\varphi: \mathbb{C}^3 \to M_2(\mathbb{C})$ 为 $\varphi(x_1, x_2, x_3) = x_1 A + x_2 B + x_3 C$。由于 $A, B, C$ 线性无关，$\varphi$ 是单射，其像 $V = \operatorname{span}\{A, B, C\}$ 是 $M_2(\mathbb{C})$ 的 3 维子空间。要证存在非零向量使 $\varphi(x_1, x_2, x_3)$ 可逆，即 $V$ 包含可逆矩阵。反证：假设 $V$ 中所有矩阵都不可逆，则每个非零矩阵秩为 1（零矩阵不在 $V$ 中）。

取非零 $X \in V$，则 $X$ 秩为 1，可写为 $X = u v^T$，其中 $u, v \in \mathbb{C}^2$ 非零列向量。由于 $\dim V = 3$，存在 $Y \in V$ 与 $X$ 线性无关，$Y$ 也秩为 1，设 $Y = p q^T$。

由反证假设，$X+Y \in V$ 不可逆，故秩为 0 或 1。但 $X+Y \neq 0$（否则 $X = -Y$ 线性相关），所以 $X+Y$ 秩为 1。即 $u v^T + p q^T$ 秩为 1。

若 $v$ 和 $q$ 线性无关，则存在非零 $w \in \mathbb{C}^2$ 使得 $w^T v = 0$ 且 $w^T q = 0$？实际上，方程组 $v^T w = 0, q^T w = 0$ 的系数矩阵为 $\begin{pmatrix} v^T \\ q^T \end{pmatrix}$，若 $v, q$ 线性无关则矩阵满秩，只有零解，故不存在非零 $w$。因此 $v$ 和 $q$ 必须线性相关，即存在非零 $\alpha$ 使 $q = \alpha v$。

类似地，考虑 $X$ 和 $Y$ 的另一种组合（如 $X + \lambda Y$ 或对称推理），可推出 $u$ 和 $p$ 也线性相关。实际上，由 $X+Y$ 秩为 1 且 $q = \alpha v$，得 $u v^T + p (\alpha v)^T = (u + \alpha p) v^T$ 秩为 1，这自动成立。但还需利用其他组合（如 $X - Y$）或直接对称性：考虑转置，$X^T = v u^T$，$Y^T = q p^T = \alpha v p^T$，类似推理可得 $u$ 与 $p$ 线性相关。故存在非零 $\beta$ 使 $p = \beta u$。

由 $q = \alpha v$ 和 $p = \beta u$，得 $Y = p q^T = (\beta u)(\alpha v)^T = \alpha \beta u v^T = \alpha \beta X$，即 $Y$ 与 $X$ 线性相关，与 $X, Y$ 线性无关矛盾。故反证假设不成立，$V$ 中必存在可逆矩阵。

因此，存在复数 $x_1, x_2, x_3$ 使得 $x_1 A + x_2 B + x_3 C$ 是可逆矩阵。