华东师范大学 2021年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{M}_{m \times n}, \beta \in \mathbb{M}_{m \times 1}$ ，问：线性方程组 $\displaystyle A x=\beta$ 有多少个线性无关的解（用 $\displaystyle r=\operatorname{rank}(A)$ 表示），并说明理由。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析方程组解的存在性
线性方程组 $Ax = \beta$ 有解当且仅当 $\beta$ 属于 $A$ 的列空间，即 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid \beta])$。若 $\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A \mid \beta])$，则方程组无解，此时线性无关解的个数为 $0$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid \beta])$
提示：注意比较增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是否相等。
步骤 2/6
目标：假设方程组有解，引入齐次方程
若方程组有解，设 $x_0$ 为一个特解，则通解为 $x = x_0 + y$，其中 $y$ 是齐次方程 $Ay = 0$ 的解。因此，解的结构由齐次方程的解空间决定。
公式：$A(x_0 + y) = Ax_0 + Ay = \beta + 0 = \beta$
提示：特解不唯一，但解集的结构是固定的。
步骤 3/6
目标：确定齐次方程解空间的维数
齐次方程 $Ay = 0$ 的解空间是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，其维数等于 $n - \operatorname{rank}(A) = n - r$。这是因为 $A$ 的零空间维数等于 $n$ 减去 $A$ 的秩。
公式：$\dim(\ker(A)) = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：秩-零化度定理：$\dim(\ker(A)) + \operatorname{rank}(A) = n$。
步骤 4/6
目标：得出齐次方程线性无关解的个数
齐次方程的解空间的一组基称为基础解系，其中包含 $n - r$ 个线性无关的解向量。因此，齐次方程线性无关解的个数为 $n - r$。
公式：基础解系含有 $n - r$ 个向量
提示：基础解系中的向量必须线性无关且能生成所有解。
步骤 5/6
目标：考虑整个解集的线性无关解个数
整个非齐次方程的解集是一个仿射空间，其线性无关解的最大个数为 $n - r + 1$（例如，特解加上基础解系中的向量）。但通常题目中“线性无关的解”指的是齐次方程的基础解系，即 $n - r$ 个。
公式：最大线性无关解个数 = $n - r + 1$（包含特解）
提示：注意题目是否明确要求齐次方程的解。
步骤 6/6
目标：总结答案
综上，若方程组无解，则线性无关解的个数为 $0$；若有解，则齐次方程线性无关解的个数为 $n - r$，整个解集中线性无关解的最大个数为 $n - r + 1$。根据常见理解，答案为 $n - r$。
提示：务必根据题目上下文判断是否包含特解。
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