📝 华东师范大学 2021年高等代数真题
第1题
1．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{M}_{m \times n}, \beta \in \mathbb{M}_{m \times 1}$ ，问：线性方程组 $\displaystyle A x=\beta$ 有多少个线性无关的解（用 $\displaystyle r=\operatorname{rank}(A)$ 表示），并说明理由。
第2题
2．（15 分）设 $\displaystyle 2 n$ 阶方阵 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}0 & E_{n} \\ -E_{n} & 0\end{array}\right)$ ，给出复线性空间
$$
S P_{n}=\left\{X \in \mathbb{M}_{2 n \times 2 n}(\mathbb{C}) \mid S X=-X^{T} S\right\}
$$
的一组基，并计算其维数。
$$
S P_{n}=\left\{X \in \mathbb{M}_{2 n \times 2 n}(\mathbb{C}) \mid S X=-X^{T} S\right\}
$$
的一组基，并计算其维数。
第3题
3．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A(t)=\left(a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ 中元素（ $\displaystyle a_{i j}(t)$ 为实变量 $t$ 的可微函数。记 $\displaystyle A^{\prime}(t)= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ ．证明：若对 $\displaystyle \forall t \in \mathbb{R},|A(t)|>0$ ，则
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)|=\operatorname{tr}\left(A^{-1}(t) A^{\prime}(t)\right)
$$
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)|=\operatorname{tr}\left(A^{-1}(t) A^{\prime}(t)\right)
$$
第4题
4．（15 分）证明：若 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $B$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 可对角化．
第5题
5．（15 分）设 $\displaystyle c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 是多项式 $\displaystyle f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+6 x-1$ 的三个复根。求
$$
\left(c_{1} c_{2}+c_{3}^{2}\right)\left(c_{2} c_{3}+c_{1}^{2}\right)\left(c_{1} c_{3}+c_{2}^{2}\right)
$$
$$
\left(c_{1} c_{2}+c_{3}^{2}\right)\left(c_{2} c_{3}+c_{1}^{2}\right)\left(c_{1} c_{3}+c_{2}^{2}\right)
$$
第6题
6．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c$ ，
$$
A_{f}=\left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{12} & a_{22}
\end{array}\right), \quad B_{f}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & b_{1} \\
a_{12} & a_{22} & b_{2} \\
b_{1} & b_{2} & c
\end{array}\right) .
$$
证明：函数 $f$ 在坐标变换 $\displaystyle \binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=Q\binom{x}{y}+\binom{d_{1}}{d_{2}}$ 下对应的 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(B_{f}\right)$ 保持不变，其中 $Q$ 是二阶正交矩阵。
$$
A_{f}=\left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{12} & a_{22}
\end{array}\right), \quad B_{f}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & b_{1} \\
a_{12} & a_{22} & b_{2} \\
b_{1} & b_{2} & c
\end{array}\right) .
$$
证明：函数 $f$ 在坐标变换 $\displaystyle \binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=Q\binom{x}{y}+\binom{d_{1}}{d_{2}}$ 下对应的 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(B_{f}\right)$ 保持不变，其中 $Q$ 是二阶正交矩阵。
第7题
7．（20 分）设实矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right), a, b, c, d>0$ 。证明：一定存在 $A$ 的特征向量 $\displaystyle (x, y)^{\top} \in \mathbb{R}^{2}$ 满足 $\displaystyle x, y>0$ ．
第8题
8．（15 分）证明：若 6 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 是幂零矩阵，且有相同的秩和最小多项式，则 $\displaystyle A, B$ 相似。
第9题
9．（20 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实对称正定矩阵。证明：
（1）存在唯一 $n$ 阶实矩阵 $C$ 满足 $\displaystyle B C+C B=A$ ；
（2）对（1）中实矩阵 $C$ ，有 $\displaystyle B C=C B$ 当且仅当 $\displaystyle A B=B A$ ．
（1）存在唯一 $n$ 阶实矩阵 $C$ 满足 $\displaystyle B C+C B=A$ ；
（2）对（1）中实矩阵 $C$ ，有 $\displaystyle B C=C B$ 当且仅当 $\displaystyle A B=B A$ ．