华东师范大学 2021年高等代数第5题
📝 题目
5．（15 分）设 $\displaystyle c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 是多项式 $\displaystyle f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+6 x-1$ 的三个复根。求
$$
\left(c_{1} c_{2}+c_{3}^{2}\right)\left(c_{2} c_{3}+c_{1}^{2}\right)\left(c_{1} c_{3}+c_{2}^{2}\right)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用韦达定理
设 $f(x)=2x^3-4x^2+6x-1$ 的三个根为 $c_1, c_2, c_3$。由韦达定理：
\[
\begin{aligned}
s_1 &= c_1+c_2+c_3 = \frac{4}{2}=2, \\
s_2 &= c_1c_2+c_2c_3+c_3c_1 = \frac{6}{2}=3, \\
s_3 &= c_1c_2c_3 = \frac{1}{2}.
\end{aligned}
\]
公式：韦达定理：$s_1 = -a_{n-1}/a_n$, $s_2 = a_{n-2}/a_n$, $s_3 = (-1)^n a_0/a_n$
提示：注意多项式首项系数为2，除以前不要忘记
步骤 2/7
目标：将表达式转化为对称形式
所求表达式为 $P = (c_1c_2+c_3^2)(c_2c_3+c_1^2)(c_1c_3+c_2^2)$。注意到 $c_1c_2 = \frac{s_3}{c_3}$，所以 $c_1c_2+c_3^2 = \frac{s_3}{c_3} + c_3^2$。类似地，
\[
c_2c_3+c_1^2 = \frac{s_3}{c_1} + c_1^2, \quad c_1c_3+c_2^2 = \frac{s_3}{c_2} + c_2^2.
\]
于是
\[
P = \prod_{i=1}^3 \left(\frac{s_3}{c_i} + c_i^2\right) = \prod_{i=1}^3 \frac{s_3 + c_i^3}{c_i} = \frac{\prod_{i=1}^3 (s_3 + c_i^3)}{s_3}.
\]
公式：$c_1c_2 = s_3/c_3$
提示：利用 $c_1c_2c_3 = s_3$ 进行代换
步骤 3/7
目标：利用根满足的方程化简 $c_i^3$
由于 $c_i$ 是 $f(x)=0$ 的根，有 $2c_i^3 - 4c_i^2 + 6c_i - 1 = 0$，即 $c_i^3 = 2c_i^2 - 3c_i + \frac{1}{2}$。代入 $s_3 + c_i^3$：
\[
s_3 + c_i^3 = \frac{1}{2} + 2c_i^2 - 3c_i + \frac{1}{2} = 2c_i^2 - 3c_i + 1.
\]
因此
\[
P = \frac{\prod_{i=1}^3 (2c_i^2 - 3c_i + 1)}{s_3}.
\]
公式：$c_i^3 = 2c_i^2 - 3c_i + \frac{1}{2}$
提示：正确解出 $c_i^3$ 的表达式，注意系数
步骤 4/7
目标：因式分解二次多项式
令 $h(x) = 2x^2 - 3x + 1$，因式分解得 $h(x) = 2(x-1)(x-\frac{1}{2})$。于是
\[
\prod_{i=1}^3 h(c_i) = \prod_{i=1}^3 2(c_i-1)(c_i-\frac{1}{2}) = 8 \prod_{i=1}^3 (c_i-1) \prod_{i=1}^3 (c_i-\frac{1}{2}).
\]
公式：$2x^2-3x+1 = 2(x-1)(x-1/2)$
提示：因式分解要正确
步骤 5/7
目标：用 $f(x)$ 表示乘积
因为 $f(x)=2(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)$，所以
\[
\prod_{i=1}^3 (c_i-1) = (-1)^3 \frac{f(1)}{2} = -\frac{f(1)}{2}, \quad \prod_{i=1}^3 (c_i-\frac{1}{2}) = -\frac{f(1/2)}{2}.
\]
因此
\[
\prod_{i=1}^3 (c_i-1)(c_i-\frac{1}{2}) = \frac{f(1)f(1/2)}{4}.
\]
公式：$f(x)=2\prod (x-c_i)$
提示：注意符号：$\prod (c_i - a) = (-1)^n f(a)/a_n$
步骤 6/7
目标：计算 $f(1)$ 和 $f(1/2)$
计算：
\[
f(1) = 2\cdot1^3 - 4\cdot1^2 + 6\cdot1 - 1 = 2-4+6-1 = 3,
\]
\[
f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\cdot\frac{1}{8} - 4\cdot\frac{1}{4} + 6\cdot\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} - 1 + 3 - 1 = \frac{5}{4}.
\]
所以
\[
\prod_{i=1}^3 (c_i-1)(c_i-\frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot \frac{5}{4}}{4} = \frac{15}{16}.
\]
提示：计算要仔细，特别是分数运算
步骤 7/7
目标：计算最终结果
于是
\[
\prod_{i=1}^3 (2c_i^2 - 3c_i + 1) = 8 \cdot \frac{15}{16} = \frac{15}{2}.
\]
代入 $P$ 的表达式：
\[
P = \frac{15/2}{s_3} = \frac{15/2}{1/2} = 15.
\]
因此所求值为 $15$。
公式：$P = \frac{\prod (2c_i^2-3c_i+1)}{s_3}$
提示：最后除法注意 $s_3=1/2$
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