华东师范大学 2021年高等代数第4题
📝 题目
4．（15 分）证明：若 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $B$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 可对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用B有n个不同特征值，将其对角化
由于 $B$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，则 $B$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}BP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$。
公式：P^{-1}BP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)
提示：注意：不同特征值保证可对角化，但需确保P是特征向量组成的矩阵。
步骤 2/5
目标：利用交换性条件，将A也变换到同一基下
由 $AB = BA$，左乘 $P^{-1}$ 右乘 $P$ 得 $P^{-1}AP \cdot P^{-1}BP = P^{-1}BP \cdot P^{-1}AP$，即 $P^{-1}AP$ 与对角矩阵可交换。
公式：P^{-1}AP \cdot \operatorname{diag}(\lambda_i) = \operatorname{diag}(\lambda_i) \cdot P^{-1}AP
提示：注意矩阵乘法顺序，交换性在相似变换下保持。
步骤 3/5
目标：设出变换后的矩阵，并利用可交换性得到元素关系
设 $P^{-1}AP = (a_{ij})_{n \times n}$，则 $(P^{-1}AP)(P^{-1}BP) = (a_{ij}\lambda_j)$，而 $(P^{-1}BP)(P^{-1}AP) = (\lambda_i a_{ij})$。由可交换性得 $a_{ij}\lambda_j = \lambda_i a_{ij}$，即 $a_{ij}(\lambda_i - \lambda_j) = 0$。
公式：a_{ij}(\lambda_i - \lambda_j) = 0
提示：注意矩阵乘法中下标对应：左乘对角阵是对行乘，右乘是对列乘。
步骤 4/5
目标：利用特征值互异，推出非对角元为零
当 $i \neq j$ 时，$\lambda_i \neq \lambda_j$，因此 $\lambda_i - \lambda_j \neq 0$，从而 $a_{ij} = 0$。即 $P^{-1}AP$ 的非对角元全为零。
公式：i \neq j \Rightarrow a_{ij}=0
提示：注意：当i=j时，$\lambda_i - \lambda_i = 0$，方程自动成立，对角元不受限制。
步骤 5/5
目标：得出结论：A可对角化
因此 $P^{-1}AP$ 是对角矩阵，即 $A$ 相似于对角矩阵，故 $A$ 可对角化。
公式：P^{-1}AP = \operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})
提示：注意：对角化矩阵P与B的相同，即A和B可同时对角化。
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