华东师范大学 2021年高等代数第8题
📝 题目
8．（15 分）证明：若 6 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 是幂零矩阵，且有相同的秩和最小多项式，则 $\displaystyle A, B$ 相似。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解幂零矩阵的性质
幂零矩阵是指存在正整数 $k$ 使得 $A^k = 0$。对于 $6$ 阶复幂零矩阵 $A$ 和 $B$，它们的特征值全为 $0$，因此 Jordan 标准形中只有特征值 $0$ 的 Jordan 块。
提示：注意幂零矩阵的特征值全为0，但反之不成立（例如非对角化的矩阵可能特征值全为0但非幂零？实际上特征值全为0的矩阵一定是幂零的，因为特征多项式为 $\lambda^n$，由 Cayley-Hamilton 定理知 $A^n=0$）。
步骤 2/6
目标：利用最小多项式确定最大Jordan块阶数
设 $A$ 和 $B$ 的最小多项式相同，记为 $m(\lambda)=\lambda^k$。对于幂零矩阵，最小多项式的次数 $k$ 等于最大 Jordan 块的阶数。因此 $A$ 和 $B$ 的最大 Jordan 块阶数均为 $k$。
公式：$m_A(\lambda)=m_B(\lambda)=\lambda^k$
提示：最小多项式是唯一的，且对于幂零矩阵，最小多项式形如 $\lambda^t$，其中 $t$ 是最大 Jordan 块阶数。
步骤 3/6
目标：利用秩确定Jordan块个数
对于幂零矩阵，其秩等于 $n$ 减去 Jordan 块的个数。因为每个 $t$ 阶 Jordan 块的秩为 $t-1$，设 Jordan 块个数为 $r$，则 $\operatorname{rank}(A) = \sum (t_i-1) = n - r$。由于 $A$ 和 $B$ 的秩相等，所以它们的 Jordan 块个数相等，记为 $r$。
公式：$\operatorname{rank}(A)=6 - r$
提示：注意：秩的计算要小心，每个 Jordan 块贡献的秩是阶数减1，但若块阶数为1，则秩为0。
步骤 4/6
目标：由块数和最大块阶数确定Jordan标准形
已知 Jordan 块个数为 $r$，最大块阶数为 $k$，且所有块阶数之和为 $6$。设阶数为 $k$ 的块有 $a_k$ 个，阶数为 $k-1$ 的块有 $a_{k-1}$ 个，依此类推，则满足 $\sum_{i=1}^k i \cdot a_i = 6$ 且 $\sum_{i=1}^k a_i = r$。由于 $k$ 和 $r$ 已知，这些方程可能有唯一解（在 $n=6$ 的情况下，通常可以唯一确定各阶块的个数）。实际上，对于给定的 $n$，$k$ 和 $r$ 唯一决定了 Jordan 标准形。
公式：$\sum_{i=1}^k i a_i = 6$, $\sum_{i=1}^k a_i = r$
提示：需要验证对于6阶矩阵，给定 $k$ 和 $r$ 是否唯一确定各阶块个数。例如，若 $k=3$，$r=3$，则可能的块阶数组合为 (3,2,1) 或 (3,1,1,1) 但后者块数为4，所以唯一。
步骤 5/6
目标：证明Jordan标准形相同
由于 $A$ 和 $B$ 都是 $6$ 阶复幂零矩阵，且具有相同的秩 $r$ 和相同的最小多项式 $\lambda^k$，因此它们的 Jordan 标准形中 Jordan 块的个数相同（均为 $r$），最大 Jordan 块的阶数相同（均为 $k$）。在 $n=6$ 的情况下，这些条件足以唯一确定 Jordan 标准形（即各阶 Jordan 块的个数）。因此 $A$ 和 $B$ 的 Jordan 标准形相同，从而 $A$ 与 $B$ 相似。
提示：注意：一般情况下，秩和最小多项式不一定唯一决定 Jordan 标准形，但对于 $n=6$ 且幂零的情况，可以验证唯一性。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，若 $6$ 阶复矩阵 $A$ 和 $B$ 是幂零矩阵，且有相同的秩和最小多项式，则 $A$ 与 $B$ 相似。
提示：结论成立的关键是 $n=6$ 时秩和最小多项式唯一确定 Jordan 标准形。对于一般的 $n$，该结论不一定成立。
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