华东师范大学 2021年高等代数第7题
📝 题目
7．（20 分）设实矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right), a, b, c, d>0$ 。证明：一定存在 $A$ 的特征向量 $\displaystyle (x, y)^{\top} \in \mathbb{R}^{2}$ 满足 $\displaystyle x, y>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵性质
给定实矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其中 $a, b, c, d > 0$。由于所有元素为正，$A$ 是一个正矩阵。
提示：注意正矩阵的定义：所有元素大于0。
步骤 2/6
目标：计算特征多项式并判断特征值
特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc)$。判别式 $\Delta = (a+d)^2 - 4(ad - bc) = (a-d)^2 + 4bc > 0$，因此 $A$ 有两个不同的实特征值 $\lambda_1, \lambda_2$。
公式：$\Delta = (a-d)^2 + 4bc$
提示：判别式恒正，因为 $b,c>0$，所以 $(a-d)^2 + 4bc > 0$。
步骤 3/6
目标：应用Perron-Frobenius定理
根据Perron-Frobenius定理，正矩阵 $A$ 有唯一的正特征值（称为Perron根），记为 $\lambda_1$，且 $\lambda_1 > 0$。此外，存在对应的特征向量，其所有分量均为正。
提示：Perron-Frobenius定理适用于不可约非负矩阵，这里正矩阵是特例。
步骤 4/6
目标：构造特征向量
设 $\lambda_1$ 是 $A$ 的最大特征值（Perron根）。解特征方程 $A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$，得到方程组：
$$\begin{cases} ax + by = \lambda_1 x \\ cx + dy = \lambda_1 y \end{cases}$$
由第一式得 $by = (\lambda_1 - a)x$。由于 $b>0$，若取 $x>0$，则 $y = \frac{\lambda_1 - a}{b}x$。
公式：$by = (\lambda_1 - a)x$
提示：注意 $\lambda_1$ 大于 $a$ 和 $d$ 吗？不一定，但由Perron-Frobenius定理，特征向量分量全正，因此 $\lambda_1 - a$ 必须为正，否则 $y$ 非正。实际上，可以证明 $\lambda_1 > \max(a,d)$。
步骤 5/6
目标：验证特征向量分量为正
由Perron-Frobenius定理，存在特征向量 $(x,y)^\top$ 满足 $x>0, y>0$。因此，我们找到了所需特征向量。
提示：直接构造时，需验证 $\lambda_1 > a$ 且 $\lambda_1 > d$，这可以通过考虑 $A$ 的行和或列和得到。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，对于任意元素全为正的 $2\times2$ 实矩阵 $A$，一定存在特征向量 $(x,y)^\top$ 满足 $x>0, y>0$。
提示：结论依赖于Perron-Frobenius定理，该定理保证正矩阵有正特征值和正特征向量。
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