华东师范大学 2021年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）设 $\displaystyle 2 n$ 阶方阵 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}0 & E_{n} \\ -E_{n} & 0\end{array}\right)$ ，给出复线性空间
$$
S P_{n}=\left\{X \in \mathbb{M}_{2 n \times 2 n}(\mathbb{C}) \mid S X=-X^{T} S\right\}
$$
的一组基，并计算其维数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分块表示矩阵X
设 $X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，其中 $A, B, C, D \in \mathbb{M}_{n \times n}(\mathbb{C})$。
提示：注意分块矩阵的维度匹配，每个子块都是n×n矩阵。
步骤 2/7
目标：计算SX和X^T S
计算 $SX = \begin{pmatrix} 0 & E_n \\ -E_n & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C & D \\ -A & -B \end{pmatrix}$。
计算 $X^T S = \begin{pmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & E_n \\ -E_n & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -C^T & A^T \\ -D^T & B^T \end{pmatrix}$。
公式：$SX = \begin{pmatrix} C & D \\ -A & -B \end{pmatrix}$，$X^T S = \begin{pmatrix} -C^T & A^T \\ -D^T & B^T \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵乘法顺序，以及转置运算的正确应用。
步骤 3/7
目标：代入条件SX = -X^T S
条件 $SX = -X^T S$ 给出 $\begin{pmatrix} C & D \\ -A & -B \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} -C^T & A^T \\ -D^T & B^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C^T & -A^T \\ D^T & -B^T \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} C & D \\ -A & -B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C^T & -A^T \\ D^T & -B^T \end{pmatrix}$
提示：注意负号的处理，避免符号错误。
步骤 4/7
目标：比较矩阵块得到方程
比较对应块得到四个方程：
1. $C = C^T$（左上角）
2. $D = -A^T$（右上角）
3. $-A = D^T$（左下角）
4. $-B = -B^T$，即 $B = B^T$（右下角）
提示：注意方程3与方程2是等价的，因为由 $D = -A^T$ 可得 $D^T = -A$，所以 $-A = D^T$ 自动成立。
步骤 5/7
目标：简化条件并写出X的形式
由上述方程，条件简化为：$C = C^T$，$B = B^T$，$D = -A^T$。因此 $X$ 形如 $X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & -A^T \end{pmatrix}$，其中 $A$ 任意，$B$ 和 $C$ 是对称矩阵。
公式：$X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & -A^T \end{pmatrix}$
提示：注意 $D$ 由 $A$ 决定，不是自由参数。
步骤 6/7
目标：构造基向量
基由三部分组成：
- 对应于 $A$：取矩阵单位 $E_{ij}$（$i,j=1,\dots,n$），得 $X_{ij}^{(A)} = \begin{pmatrix} E_{ij} & 0 \\ 0 & -E_{ji} \end{pmatrix}$，共 $n^2$ 个。
- 对应于 $B$：对称矩阵的基为 $E_{ii}$（$i=1,\dots,n$）和 $E_{ij}+E_{ji}$（$1\le i
提示：注意对称矩阵的基的个数为 $n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$。
步骤 7/7
目标：计算维数并写出最终基
总基数为 $n^2 + \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = n^2 + n(n+1) = 2n^2 + n$。
一组基为：
$$\left\{ \begin{pmatrix} E_{ij} & 0 \\ 0 & -E_{ji} \end{pmatrix} \mid i,j=1,\dots,n \right\} \cup \left\{ \begin{pmatrix} 0 & E_{ii} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid i=1,\dots,n \right\} \cup \left\{ \begin{pmatrix} 0 & E_{ij}+E_{ji} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid 1\le i
公式：维数 $= 2n^2 + n$
提示：注意基的线性无关性，确保没有重复或冗余。
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