华东师范大学 2021年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A(t)=\left(a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ 中元素（ $\displaystyle a_{i j}(t)$ 为实变量 $t$ 的可微函数。记 $\displaystyle A^{\prime}(t)= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ ．证明：若对 $\displaystyle \forall t \in \mathbb{R},|A(t)|>0$ ，则
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)|=\operatorname{tr}\left(A^{-1}(t) A^{\prime}(t)\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知 $A(t)$ 是 $n$ 阶矩阵，元素 $a_{ij}(t)$ 可微，且对任意 $t \in \mathbb{R}$，行列式 $|A(t)| > 0$，故 $A(t)$ 可逆。要证明 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)| = \operatorname{tr}\left(A^{-1}(t) A'(t)\right)$。
提示：注意 $|A(t)|>0$ 保证对数有意义且矩阵可逆。
步骤 2/5
目标：回忆行列式的导数公式
行列式的导数公式：若 $A(t)$ 可微且可逆，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} |A(t)| = |A(t)| \cdot \operatorname{tr}\left( A^{-1}(t) A'(t) \right)$。该公式可由行列式的定义或 Jacobi 公式推导。
公式：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} |A(t)| = |A(t)| \cdot \operatorname{tr}\left( A^{-1}(t) A'(t) \right)
提示：注意公式中 $A^{-1}(t)$ 与 $A'(t)$ 的乘法顺序不可交换，但迹运算下顺序可交换。
步骤 3/5
目标：应用对数求导法则
对 $\ln |A(t)|$ 求导，利用链式法则：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)| = \frac{1}{|A(t)|} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} |A(t)|$。
公式：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln f(t) = \frac{f'(t)}{f(t)}
提示：注意 $|A(t)|>0$，所以对数定义良好，且分母不为零。
步骤 4/5
目标：代入行列式导数公式
将行列式导数公式代入上式：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)| = \frac{1}{|A(t)|} \cdot \left( |A(t)| \cdot \operatorname{tr}\left( A^{-1}(t) A'(t) \right) \right)$。
提示：注意 $|A(t)|$ 是标量，可以直接约去。
步骤 5/5
目标：化简得到结果
约去 $|A(t)|$，得到 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)| = \operatorname{tr}\left( A^{-1}(t) A'(t) \right)$。证毕。
提示：最终结果简洁，注意迹运算的线性性质。
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