华东师范大学 2021年高等代数第9题

由于 $B$ 是实对称正定矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T B Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i > 0$。令 $\tilde{A} = Q^T A Q$，$\tilde{C} = Q^T C Q$，则原方程 $BC + CB = A$ 化为 $\Lambda \tilde{C} + \tilde{C} \Lambda = \tilde{A}$。

设 $\tilde{C} = (c_{ij})$，$\tilde{A} = (a_{ij})$。计算 $\Lambda \tilde{C}$ 的第 $(i,j)$ 元素为 $\lambda_i c_{ij}$，$\tilde{C} \Lambda$ 的第 $(i,j)$ 元素为 $c_{ij} \lambda_j$。因此方程 $\Lambda \tilde{C} + \tilde{C} \Lambda = \tilde{A}$ 等价于 $(\lambda_i + \lambda_j) c_{ij} = a_{ij}$ 对所有 $i,j$ 成立。

由于 $\lambda_i + \lambda_j > 0$，故 $c_{ij} = \frac{a_{ij}}{\lambda_i + \lambda_j}$ 唯一确定。因此 $\tilde{C}$ 唯一，从而 $C = Q \tilde{C} Q^T$ 唯一。这证明了存在唯一实矩阵 $C$ 满足方程。

若 $BC = CB$，则 $AB = (BC + CB)B = B(CB + BC) = BA$。其中第一个等号来自方程 $BC+CB=A$，第二个等号利用 $BC=CB$ 交换顺序。

由 $AB = BA$ 得 $Q^T A Q \cdot Q^T B Q = Q^T B Q \cdot Q^T A Q$，即 $\tilde{A} \Lambda = \Lambda \tilde{A}$。写成分量形式：$a_{ij} \lambda_j = \lambda_i a_{ij}$，即 $a_{ij}(\lambda_i - \lambda_j) = 0$。由 (1) 知 $c_{ij} = \frac{a_{ij}}{\lambda_i + \lambda_j}$。若 $\lambda_i \neq \lambda_j$，则 $a_{ij}=0$，从而 $c_{ij}=0$，此时 $\lambda_i c_{ij} = c_{ij} \lambda_j$ 自然成立；若 $\lambda_i = \lambda_j$，则 $\lambda_i c_{ij} = c_{ij} \lambda_j$ 也成立。因此 $\Lambda \tilde{C} = \tilde{C} \Lambda$，即 $BC = CB$。

（1）存在唯一 $n$ 阶实矩阵 $C$ 满足 $BC + CB = A$，且 $C = Q \left( \frac{a_{ij}}{\lambda_i + \lambda_j} \right) Q^T$，其中 $Q$ 正交对角化 $B$，$\lambda_i$ 为 $B$ 的特征值，$a_{ij}$ 为 $Q^T A Q$ 的元素。 （2）$BC = CB$ 当且仅当 $AB = BA$。