华东师范大学 2022年高等代数第1题
📝 题目
1．（20分）考虑数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+2 a x_{3}=2 \\
x_{1}+3 b x_{2}+x_{3}=2 \\
x_{1}+x_{2}-a x_{3}=1
\end{array}\right.
$$
问在 $\displaystyle a, b$ 取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多组解。且在方程组有解时，求出所有解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵并化简
将线性方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2a & 2 \\
1 & 3b & 1 & 2 \\
1 & 1 & -a & 1
\end{pmatrix}
$$
进行初等行变换：$R_2 - R_1$, $R_3 - R_1$ 得：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2a & 2 \\
0 & 3b-1 & 1-2a & 0 \\
0 & 0 & -3a & -1
\end{pmatrix}
$$
提示：注意行变换的正确性，特别是第二行第三列元素的计算：$1-2a$，第三行第三列：$-a-2a = -3a$。
步骤 2/7
目标：讨论参数a=0的情况
若 $a=0$，则第三行变为 $0\;0\;0\;-1$，即 $0=-1$，矛盾。因此方程组无解。
提示：当 $a=0$ 时，第三行系数全为零，常数项非零，直接得出无解。
步骤 3/7
目标：讨论参数a≠0的情况
若 $a \neq 0$，则第三行给出 $-3a x_3 = -1$，解得 $x_3 = \frac{1}{3a}$。代入第二行：
$$
(3b-1)x_2 + (1-2a)\cdot\frac{1}{3a} = 0 \quad \Rightarrow \quad (3b-1)x_2 = \frac{2a-1}{3a}
$$
提示：代入时注意符号，$1-2a$ 乘以 $x_3$ 后移项。
步骤 4/7
目标：讨论b≠1/3时的唯一解
若 $3b-1 \neq 0$，即 $b \neq \frac{1}{3}$，则 $x_2 = \frac{2a-1}{3a(3b-1)}$。代入第一行：
$$
x_1 = 2 - x_2 - 2a x_3 = 2 - \frac{2a-1}{3a(3b-1)} - \frac{2}{3}
$$
整理得唯一解。
提示：计算 $x_1$ 时注意 $2a x_3 = 2a \cdot \frac{1}{3a} = \frac{2}{3}$。
步骤 5/7
目标：讨论b=1/3且a≠1/2时的无解情况
若 $b = \frac{1}{3}$，则第二行变为 $0 \cdot x_2 = \frac{2a-1}{3a}$。当 $\frac{2a-1}{3a} \neq 0$，即 $a \neq \frac{1}{2}$ 时，矛盾，方程组无解。
提示：注意 $a \neq 0$ 的前提，此时 $a \neq \frac{1}{2}$ 且 $a \neq 0$。
步骤 6/7
目标：讨论b=1/3且a=1/2时的无穷多解
若 $b = \frac{1}{3}$ 且 $a = \frac{1}{2}$，则第二行变为 $0=0$，$x_2$ 为自由变量。此时 $x_3 = \frac{1}{3a} = \frac{2}{3}$，代入第一行：
$$
x_1 = 2 - x_2 - 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = 2 - x_2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} - x_2
$$
故通解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{4}{3} \\ 0 \\ \frac{2}{3}
\end{pmatrix} + k \begin{pmatrix}
-1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{K}
$$
提示：自由变量 $x_2$ 取任意常数，注意特解中 $x_2=0$ 是方便的选择。
步骤 7/7
目标：总结所有情况
综合以上讨论：
- 当 $a=0$ 时，无解。
- 当 $a \neq 0$ 且 $b \neq \frac{1}{3}$ 时，唯一解。
- 当 $a \neq 0$，$b = \frac{1}{3}$ 且 $a \neq \frac{1}{2}$ 时，无解。
- 当 $a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{1}{3}$ 时，无穷多解。
提示：注意 $a=0$ 与 $a \neq 0$ 的分类，以及 $b$ 的讨论。
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