📝 华东师范大学 2022年高等代数真题
第1题
1．（20分）考虑数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+2 a x_{3}=2 \\
x_{1}+3 b x_{2}+x_{3}=2 \\
x_{1}+x_{2}-a x_{3}=1
\end{array}\right.
$$
问在 $\displaystyle a, b$ 取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多组解。且在方程组有解时，求出所有解．
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+2 a x_{3}=2 \\
x_{1}+3 b x_{2}+x_{3}=2 \\
x_{1}+x_{2}-a x_{3}=1
\end{array}\right.
$$
问在 $\displaystyle a, b$ 取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多组解。且在方程组有解时，求出所有解．
第2题
2．（20 分）设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 2 ，且 -2 是它的二重特征值，若 $\displaystyle (1,0,0)^{\top},(2,1,1)^{\top}$ 都是 $A$ 的属于特征值 -2 的特征向量，求矩阵 $A$ 。
第3题
3．（20 分）考虑未定元为 $x$ 和 $y$ 的次数至多为 2 的复系数二元多项式空间。求线性变换
$$
\mathscr{A}: f(x, y) \rightarrow f(2 x+1,2 y+1)
$$
的 Jordan 标准型。
$$
\mathscr{A}: f(x, y) \rightarrow f(2 x+1,2 y+1)
$$
的 Jordan 标准型。
第4题
4．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是有限维欧式空间 $V$ 上的正交变换，且满足 $\displaystyle \sigma^{m}=I$ ，其中 $m$ 为大于 1 的整数，$I$是恒等变换。记 $\displaystyle V^{\sigma}=\{\theta \in V: \sigma(v)=v\}$ ，而 $\displaystyle V^{\sigma}$ 的正交补记为 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 。
（a）．求证 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 是 $\displaystyle \sigma$－不变子空间．
（b）．对于 $\displaystyle v \in V$ ，定义 $\displaystyle \bar{v}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(v)$ 。求证： $\displaystyle \bar{v} \in V^{\sigma}$ ．
（c）。证明：若将 $\displaystyle v \in V$ 展开成 $\displaystyle v=v_{1}+v_{2}$ ，其中 $\displaystyle v_{1} \in V^{\sigma}, v_{2} \in V^{\sigma \perp}$ ，则 $\displaystyle v_{1}=\bar{v}$ 。
（a）．求证 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 是 $\displaystyle \sigma$－不变子空间．
（b）．对于 $\displaystyle v \in V$ ，定义 $\displaystyle \bar{v}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(v)$ 。求证： $\displaystyle \bar{v} \in V^{\sigma}$ ．
（c）。证明：若将 $\displaystyle v \in V$ 展开成 $\displaystyle v=v_{1}+v_{2}$ ，其中 $\displaystyle v_{1} \in V^{\sigma}, v_{2} \in V^{\sigma \perp}$ ，则 $\displaystyle v_{1}=\bar{v}$ 。
第5题
5．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是次数大于 0 的整系数多项式，若 $\displaystyle 2-\sqrt{3}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的根，证明： $\displaystyle 2+\sqrt{3}$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的根．
第6题
6．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换．
（a）．证明：存在正整数 $\displaystyle k \leq n$ ，使得
$$
\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{n}\right) \quad \text { 且 } \quad \operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{n}\right) .
$$
（b）．考虑如下数值指标：
（i） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $r$ ；
（ii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块个数 $m$ ；
（iii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块的最大阶数 $n$ ；
（iv）（a）中出现最小的 $k$ 。
讨论这些数值之间的关系，并证明你的结论。
（a）．证明：存在正整数 $\displaystyle k \leq n$ ，使得
$$
\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{n}\right) \quad \text { 且 } \quad \operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{n}\right) .
$$
（b）．考虑如下数值指标：
（i） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $r$ ；
（ii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块个数 $m$ ；
（iii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块的最大阶数 $n$ ；
（iv）（a）中出现最小的 $k$ 。
讨论这些数值之间的关系，并证明你的结论。
第7题
7．（15 分）设 $V$ 是实内积空间，$\displaystyle \langle\cdot, \cdot\rangle$ 是 $V$ 上的内积，$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，且满足
$$
<\phi(\phi(x)), y>=<x, \phi(y)>, \quad \forall x, y \in V .
$$
证明：$\displaystyle \phi$ 是正交变换．
$$
<\phi(\phi(x)), y>=<x, \phi(y)>, \quad \forall x, y \in V .
$$
证明：$\displaystyle \phi$ 是正交变换．
第8题
8．（15 分）设 $\displaystyle U, V, W$ 是 6 维线性空间的 3 个 3 维子空间，设 $\displaystyle U \cap V=0$ ，求 $\displaystyle \operatorname{dim}((U+V) \cap(V+W))$的最大值和最小值．
第9题
9．（20 分）（a）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定对称矩阵，$\displaystyle x \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：$\displaystyle x^{\top} A x=0$ 等价于 $\displaystyle A x=0$ ．
（b）．设 $A$ 是 $n$ 阶半正定对称矩阵，将其写成分块矩阵的形式
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
A_{1} & A_{2} \\
A_{2}^{\top} & A_{4}
\end{array}\right),
$$
其中 $\displaystyle A_{1}$ 是 $r$ 阶方阵。证明：对 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{r}$ ，若 $\displaystyle A_{1} x=0$ ，则 $\displaystyle A_{2}^{\top} x=0$ ．
（c）．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得
$$
P^{-1} A\left(P^{-1}\right)^{\top}=\left(\begin{array}{cc}
I_{r} & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad P^{\top} B P=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}
$$
（b）．设 $A$ 是 $n$ 阶半正定对称矩阵，将其写成分块矩阵的形式
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
A_{1} & A_{2} \\
A_{2}^{\top} & A_{4}
\end{array}\right),
$$
其中 $\displaystyle A_{1}$ 是 $r$ 阶方阵。证明：对 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{r}$ ，若 $\displaystyle A_{1} x=0$ ，则 $\displaystyle A_{2}^{\top} x=0$ ．
（c）．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得
$$
P^{-1} A\left(P^{-1}\right)^{\top}=\left(\begin{array}{cc}
I_{r} & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad P^{\top} B P=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}
$$