华东师范大学 2022年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）设 $V$ 是实内积空间，$\displaystyle \langle\cdot, \cdot\rangle$ 是 $V$ 上的内积，$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，且满足
$$
<\phi(\phi(x)), y>=<x, \phi(y)>, \quad \forall x, y \in V .
$$
证明：$\displaystyle \phi$ 是正交变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解条件并设定目标
已知 $\phi$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，且满足 $\langle \phi(\phi(x)), y \rangle = \langle x, \phi(y) \rangle$ 对所有 $x, y \in V$ 成立。需要证明 $\phi$ 是正交变换，即 $\langle \phi(x), \phi(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ 对所有 $x, y \in V$ 成立。
公式：$\langle \phi(\phi(x)), y \rangle = \langle x, \phi(y) \rangle$
提示：注意正交变换的定义：保持内积的线性变换。
步骤 2/7
目标：推导伴随关系
由内积空间中伴随变换的定义：$\langle \phi(u), v \rangle = \langle u, \phi^*(v) \rangle$。给定条件 $\langle \phi(\phi(x)), y \rangle = \langle x, \phi(y) \rangle$ 表明 $\phi \circ \phi$ 的伴随是 $\phi$，即 $(\phi \circ \phi)^* = \phi$。由于 $(\phi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \phi^*$，得到 $\phi^* \circ \phi^* = \phi$。
公式：$\phi^* \circ \phi^* = \phi$
提示：伴随变换的复合顺序：$(\phi \circ \psi)^* = \psi^* \circ \phi^*$。
步骤 3/7
目标：利用可逆性推导 $\phi^3 = I$
对 $\phi^* \circ \phi^* = \phi$ 两边取伴随，得 $(\phi^* \circ \phi^*)^* = \phi^*$，即 $\phi \circ \phi = \phi^*$。因此 $\phi^* = \phi^2$。代入 $\phi^* \circ \phi^* = \phi$ 得 $\phi^2 \circ \phi^2 = \phi$，即 $\phi^4 = \phi$。由于 $\phi$ 可逆，左乘 $\phi^{-1}$ 得 $\phi^3 = I$。
公式：$\phi^3 = I$
提示：注意可逆性保证 $\phi^{-1}$ 存在，且 $\phi^*$ 也可逆。
步骤 4/7
目标：推导 $\phi^{-1} = \phi^2$
由 $\phi^3 = I$ 得 $\phi \circ \phi^2 = I$，所以 $\phi^{-1} = \phi^2$。
公式：$\phi^{-1} = \phi^2$
提示：直接由 $\phi^3 = I$ 得到逆变换。
步骤 5/7
目标：利用条件推导 $\langle \phi^2(u), \phi^2(v) \rangle = \langle u, v \rangle$
在给定条件 $\langle \phi(\phi(x)), y \rangle = \langle x, \phi(y) \rangle$ 中，将 $y$ 替换为 $\phi^{-1}(y)$，得 $\langle \phi^2(x), \phi^{-1}(y) \rangle = \langle x, y \rangle$。由于 $\phi^{-1} = \phi^2$，有 $\langle \phi^2(x), \phi^2(y) \rangle = \langle x, y \rangle$。
公式：$\langle \phi^2(x), \phi^2(y) \rangle = \langle x, y \rangle$
提示：注意替换变量时要保持任意性。
步骤 6/7
目标：证明 $\phi$ 保持内积
对任意 $x, y \in V$，有 $\langle \phi(x), \phi(y) \rangle = \langle \phi^2(\phi(x)), \phi^2(\phi(y)) \rangle$（由第5步，取 $u = \phi(x), v = \phi(y)$），即 $\langle \phi^3(x), \phi^3(y) \rangle$。由 $\phi^3 = I$，得 $\langle x, y \rangle$。因此 $\langle \phi(x), \phi(y) \rangle = \langle x, y \rangle$。
公式：$\langle \phi(x), \phi(y) \rangle = \langle x, y \rangle$
提示：注意第5步的结论适用于任意向量，包括 $\phi(x)$ 和 $\phi(y)$。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于 $\phi$ 保持内积，且是线性变换，故 $\phi$ 是正交变换。
提示：正交变换的定义：线性变换且保持内积。
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