华东师范大学 2022年高等代数第8题
📝 题目
8．（15 分）设 $\displaystyle U, V, W$ 是 6 维线性空间的 3 个 3 维子空间，设 $\displaystyle U \cap V=0$ ，求 $\displaystyle \operatorname{dim}((U+V) \cap(V+W))$的最大值和最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定U+V的维数
已知$U$和$V$是3维子空间，且$U \cap V = 0$。由维数公式：$\dim(U+V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V) = 3+3-0 = 6$。由于整个空间是6维，因此$U+V = X$。
公式：\dim(U+V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)
提示：注意维数公式中交集维数的符号，不要漏掉减号。
步骤 2/7
目标：化简所求交集的维数
所求为$\dim((U+V) \cap (V+W))$。由第一步知$U+V = X$，所以$(U+V) \cap (V+W) = X \cap (V+W) = V+W$。因此$\dim((U+V) \cap (V+W)) = \dim(V+W)$。
提示：注意$U+V$是整个空间，所以与任何子空间的交集就是该子空间本身。
步骤 3/7
目标：应用维数公式于V+W
由维数公式：$\dim(V+W) = \dim V + \dim W - \dim(V \cap W) = 3+3 - \dim(V \cap W) = 6 - \dim(V \cap W)$。
公式：\dim(V+W) = \dim V + \dim W - \dim(V \cap W)
提示：注意$V$和$W$都是3维，所以$\dim(V \cap W)$的取值范围是0到3。
步骤 4/7
目标：确定dim(V∩W)的可能取值
由于$V$和$W$是3维子空间，$V \cap W$是它们的子空间，维数可以是0,1,2,3。但需注意，当$\dim(V \cap W)=3$时，$V=W$。
提示：不要忘记$\dim(V \cap W)$可以等于3，此时$V$和$W$重合。
步骤 5/7
目标：计算dim(V+W)的范围
由$\dim(V+W) = 6 - \dim(V \cap W)$，当$\dim(V \cap W)=0$时，$\dim(V+W)$取最大值6；当$\dim(V \cap W)=3$时，$\dim(V+W)$取最小值3。中间值对应$\dim(V \cap W)=1,2$。
提示：注意最大值对应交集最小，最小值对应交集最大。
步骤 6/7
目标：验证取值可实现性
需要检查在$U \cap V=0$的条件下，$\dim(V \cap W)$能否取遍0,1,2,3。例如：取$V$为某个3维子空间，$U$为与$V$互补的3维子空间（即$U \cap V=0$且$U+V=X$），$W$可以取与$V$相交维数为0,1,2,3的3维子空间（如$W=V$时交为3，$W$与$V$互补时交为0，中间情况可通过适当选取实现）。因此所有取值均可实现。
提示：注意构造时需同时满足$U \cap V=0$，但$U$与$W$的关系无限制，所以容易实现。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此$\dim((U+V) \cap (V+W)) = \dim(V+W)$的最小值为3，最大值为6。
提示：最终答案要明确写出最小值和最大值。
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