华东师范大学 2022年高等代数第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换．
（a）．证明：存在正整数 $\displaystyle k \leq n$ ，使得
$$
\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{n}\right) \quad \text { 且 } \quad \operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{n}\right) .
$$
（b）．考虑如下数值指标：
（i） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $r$ ；
（ii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块个数 $m$ ；
（iii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块的最大阶数 $n$ ；
（iv）（a）中出现最小的 $k$ 。
讨论这些数值之间的关系，并证明你的结论。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立子空间链并利用维数有限性
考虑子空间链：
$$V \supseteq \operatorname{Im}(\mathscr{A}) \supseteq \operatorname{Im}(\mathscr{A}^2) \supseteq \cdots \supseteq \operatorname{Im}(\mathscr{A}^n) \supseteq \cdots$$
以及
$$\{0\} \subseteq \ker(\mathscr{A}) \subseteq \ker(\mathscr{A}^2) \subseteq \cdots \subseteq \ker(\mathscr{A}^n) \subseteq \cdots$$
由于 $V$ 是 $n$ 维的，这些子空间的维数不能无限下降或上升，因此存在最小正整数 $k$ 使得
$$\dim \operatorname{Im}(\mathscr{A}^k) = \dim \operatorname{Im}(\mathscr{A}^{k+1}) = \cdots$$
且
$$\dim \ker(\mathscr{A}^k) = \dim \ker(\mathscr{A}^{k+1}) = \cdots$$
并且 $k \leq n$，因为维数最多变化 $n$ 次。
提示：注意子空间链是单调的，且维数有限，所以必然稳定。
步骤 2/7
目标：由维数相等推出子空间相等
由维数公式 $\dim V = \dim \operatorname{Im}(\mathscr{A}^i) + \dim \ker(\mathscr{A}^i)$ 可知，当维数稳定时，有包含关系 $\operatorname{Im}(\mathscr{A}^{k+1}) \subseteq \operatorname{Im}(\mathscr{A}^k)$ 且维数相等，故 $\operatorname{Im}(\mathscr{A}^k) = \operatorname{Im}(\mathscr{A}^{k+1})$。类似地，$\ker(\mathscr{A}^k) \subseteq \ker(\mathscr{A}^{k+1})$ 且维数相等，故 $\ker(\mathscr{A}^k) = \ker(\mathscr{A}^{k+1})$。由归纳可得对所有 $i \geq k$ 成立。
公式：$$\dim \operatorname{Im}(\mathscr{A}^i) = \dim \operatorname{Im}(\mathscr{A}^{i+1}) \Rightarrow \operatorname{Im}(\mathscr{A}^i) = \operatorname{Im}(\mathscr{A}^{i+1})$$
提示：注意包含关系是已知的，维数相等推出子空间相等。
步骤 3/7
目标：引入Jordan标准形并分析零特征值块
设 $\mathscr{A}$ 的 Jordan 标准形为 $J = \operatorname{diag}(J_1, \dots, J_t)$，其中 $J_i$ 是特征值 $\lambda_i$ 的 Jordan 块。非零特征值对应的 Jordan 块可逆，其幂次仍可逆，不影响 $\operatorname{Im}$ 和 $\ker$ 的稳定。只需考虑特征值 0 的 Jordan 块。设特征值 0 的 Jordan 块阶数分别为 $d_1 \geq d_2 \geq \cdots \geq d_m > 0$，则最大阶数 $n_0 = d_1$。
提示：非零特征值部分对幂次后的像和核无影响，因为可逆。
步骤 4/7
目标：计算零特征值Jordan块的幂次性质
对于阶数为 $d$ 的零特征值 Jordan 块 $J_0(0)$，其幂次 $J_0(0)^i$ 的秩为 $\max(0, d-i)$，核的维数为 $\min(i, d)$。当 $i \geq d$ 时，$J_0(0)^i = 0$，即该块对应的子空间被零化。因此，整体上
$$\dim \operatorname{Im}(\mathscr{A}^i) = \sum_{\lambda \neq 0} \dim V_\lambda + \sum_{j=1}^m \max(0, d_j - i)$$
$$\dim \ker(\mathscr{A}^i) = \sum_{j=1}^m \min(i, d_j)$$
其中 $V_\lambda$ 是特征值 $\lambda$ 的广义特征子空间。
公式：$$\operatorname{rank}(J_0(0)^i) = \max(0, d-i), \quad \dim \ker(J_0(0)^i) = \min(i, d)$$
提示：注意秩和核维数的公式只对单个Jordan块成立，整体求和。
步骤 5/7
目标：确定最小k等于最大零特征值Jordan块阶数
当 $i \geq d_1$ 时，所有 $\max(0, d_j - i) = 0$，因此 $\dim \operatorname{Im}(\mathscr{A}^i)$ 稳定；同时 $\dim \ker(\mathscr{A}^i) = \sum_{j=1}^m d_j$ 也稳定。当 $i < d_1$ 时，至少有一个 $d_j - i > 0$，所以维数未稳定。因此 (a) 中出现的最小 $k$ 等于 $d_1 = n_0$，即特征值 0 的 Jordan 块的最大阶数。
提示：注意 $k$ 是使像和核都稳定的最小正整数，由最大阶数决定。
步骤 6/7
目标：推导零特征值Jordan块个数与零度的关系
计算 $\mathscr{A}$ 的零度：$\dim \ker(\mathscr{A}) = \sum_{j=1}^m \min(1, d_j) = m$，因为每个零特征值 Jordan 块至少贡献 1 维核（当 $d_j \geq 1$ 时 $\min(1, d_j)=1$）。所以 $m = \dim \ker(\mathscr{A})$。
公式：$$\dim \ker(\mathscr{A}) = m$$
提示：注意零度等于零特征值Jordan块个数，与阶数无关。
步骤 7/7
目标：讨论秩与零特征值Jordan块的关系
由维数公式 $r = \operatorname{rank}(\mathscr{A}) = n - \dim \ker(\mathscr{A}) = n - m$。更具体地，从 Jordan 标准形看，$r = \sum_{\lambda \neq 0} \dim V_\lambda + \sum_{j=1}^m (d_j - 1)$，因为每个零特征值 Jordan 块贡献 $d_j - 1$ 的秩。
公式：$$r = n - m = \sum_{\lambda \neq 0} \dim V_\lambda + \sum_{j=1}^m (d_j - 1)$$
提示：注意秩不仅与零特征值块个数有关，还与各块阶数有关。
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