华东师范大学 2022年高等代数第5题
📝 题目
5．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是次数大于 0 的整系数多项式，若 $\displaystyle 2-\sqrt{3}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的根，证明： $\displaystyle 2+\sqrt{3}$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件与目标
已知 $f(x)$ 是次数大于0的整系数多项式，且 $2-\sqrt{3}$ 是 $f(x)$ 的根。需要证明 $2+\sqrt{3}$ 也是 $f(x)$ 的根。
提示：注意整系数多项式的定义：系数均为整数。
步骤 2/7
目标：构造以 $2-\sqrt{3}$ 为根的最小多项式
设 $\alpha = 2-\sqrt{3}$，则 $\alpha$ 满足 $(\alpha-2)^2 = 3$，即 $\alpha^2 - 4\alpha + 1 = 0$。因此 $g(x) = x^2 - 4x + 1$ 是一个整系数多项式，且 $g(\alpha)=0$。
公式：$g(x)=x^2-4x+1$
提示：验证 $g(x)$ 的系数确实是整数。
步骤 3/7
目标：证明 $g(x)$ 在有理数域上不可约
计算判别式 $\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot1 = 16-4=12$，不是完全平方数，因此 $g(x)$ 在有理数域上不可约。
公式：$\Delta = b^2-4ac = 12$
提示：二次多项式不可约的充要条件是判别式不是完全平方数。
步骤 4/7
目标：考虑 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最大公因式
由于 $\alpha$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公共根，在有理数域上考虑 $h(x)=\gcd(f(x), g(x))$。因为 $g(x)$ 不可约，$h(x)$ 要么是常数，要么是 $g(x)$ 的倍式。但 $\alpha$ 是公共根，所以 $h(x)$ 非常数，从而 $g(x)$ 整除 $f(x)$（在有理数域上）。
公式：$h(x)=\gcd(f(x), g(x))$
提示：注意最大公因式是在有理数域上考虑的，因为 $f(x)$ 是整系数，但可以视为有理系数。
步骤 5/7
目标：应用Gauss引理得到整系数整除性
由 $g(x)$ 整除 $f(x)$ 在有理数域上，存在有理系数多项式 $q(x)$ 使得 $f(x)=g(x)q(x)$。由于 $g(x)$ 是本原多项式（系数互素），根据Gauss引理，$q(x)$ 必须是整系数多项式。
公式：Gauss引理：本原多项式的乘积仍为本原多项式。
提示：本原多项式指系数最大公因子为1的多项式。这里 $g(x)$ 的系数1, -4, 1的最大公因子为1，所以是本原的。
步骤 6/7
目标：代入 $2+\sqrt{3}$ 验证
因为 $f(x)=g(x)q(x)$，且 $g(2+\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})^2 - 4(2+\sqrt{3}) + 1 = (4+4\sqrt{3}+3) - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$，所以 $f(2+\sqrt{3}) = g(2+\sqrt{3}) q(2+\sqrt{3}) = 0$。因此 $2+\sqrt{3}$ 也是 $f(x)$ 的根。
公式：$g(2+\sqrt{3})=0$
提示：直接代入计算即可，注意合并同类项。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，对于任意整系数多项式 $f(x)$，若 $2-\sqrt{3}$ 是根，则 $2+\sqrt{3}$ 也是根。
提示：该结论可推广到一般形式：若 $a+b\sqrt{c}$（$c$ 非完全平方）是整系数多项式的根，则其共轭 $a-b\sqrt{c}$ 也是根。
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