华东师范大学 2022年高等代数第4题
📝 题目
4．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是有限维欧式空间 $V$ 上的正交变换，且满足 $\displaystyle \sigma^{m}=I$ ，其中 $m$ 为大于 1 的整数，$I$是恒等变换。记 $\displaystyle V^{\sigma}=\{\theta \in V: \sigma(v)=v\}$ ，而 $\displaystyle V^{\sigma}$ 的正交补记为 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 。
（a）．求证 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 是 $\displaystyle \sigma$－不变子空间．
（b）．对于 $\displaystyle v \in V$ ，定义 $\displaystyle \bar{v}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(v)$ 。求证： $\displaystyle \bar{v} \in V^{\sigma}$ ．
（c）。证明：若将 $\displaystyle v \in V$ 展开成 $\displaystyle v=v_{1}+v_{2}$ ，其中 $\displaystyle v_{1} \in V^{\sigma}, v_{2} \in V^{\sigma \perp}$ ，则 $\displaystyle v_{1}=\bar{v}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明 $V^{\sigma \perp}$ 是 $\sigma$-不变子空间
设 $v \in V^{\sigma \perp}$，即对任意 $u \in V^{\sigma}$，有 $\langle v, u \rangle = 0$。要证 $\sigma(v) \in V^{\sigma \perp}$，即证对任意 $u \in V^{\sigma}$，有 $\langle \sigma(v), u \rangle = 0$。由于 $\sigma$ 是正交变换，有 $\langle \sigma(v), u \rangle = \langle v, \sigma^{-1}(u) \rangle$。又因为 $\sigma^m = I$，所以 $\sigma$ 可逆且 $\sigma^{-1} = \sigma^{m-1}$。对任意 $u \in V^{\sigma}$，有 $\sigma(u) = u$，从而 $\sigma^{-1}(u) = \sigma^{m-1}(u) = u$。因此 $\langle \sigma(v), u \rangle = \langle v, u \rangle = 0$。故 $\sigma(v) \in V^{\sigma \perp}$，即 $V^{\sigma \perp}$ 是 $\sigma$-不变子空间。
公式：$\langle \sigma(v), u \rangle = \langle v, \sigma^{-1}(u) \rangle$
提示：注意正交变换保持内积，且 $\sigma^{-1} = \sigma^{m-1}$ 在 $V^{\sigma}$ 上作用为恒等。
步骤 2/3
目标：证明 $\bar{v} \in V^{\sigma}$
计算 $\sigma(\bar{v})$：$\sigma(\bar{v}) = \sigma\left( \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^i(v) \right) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i+1}(v) = \frac{1}{m} \sum_{i=2}^{m+1} \sigma^i(v)$。由于 $\sigma^{m+1}(v) = \sigma(\sigma^m(v)) = \sigma(v)$，所以 $\sigma(\bar{v}) = \frac{1}{m} \left( \sum_{i=2}^{m} \sigma^i(v) + \sigma(v) \right) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^i(v) = \bar{v}$。因此 $\bar{v} \in V^{\sigma}$。
公式：$\sigma(\bar{v}) = \bar{v}$
提示：注意求和指标变换时，利用 $\sigma^{m+1}(v) = \sigma(v)$ 将最后一项归入求和。
步骤 3/3
目标：证明 $v_1 = \bar{v}$
由 (b) 知 $\bar{v} \in V^{\sigma}$。设 $v = v_1 + v_2$，其中 $v_1 \in V^{\sigma}$，$v_2 \in V^{\sigma \perp}$。则 $\bar{v} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^i(v) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^i(v_1 + v_2) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^i(v_1) + \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^i(v_2)$。由于 $v_1 \in V^{\sigma}$，有 $\sigma^i(v_1) = v_1$，故第一项为 $\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} v_1 = v_1$。对于第二项，由于 $V^{\sigma \perp}$ 是 $\sigma$-不变子空间，$\sigma^i(v_2) \in V^{\sigma \perp}$，所以 $\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^i(v_2) \in V^{\sigma \perp}$。但 $\bar{v} \in V^{\sigma}$，且 $v_1 \in V^{\sigma}$，因此 $\bar{v} - v_1 = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^i(v_2) \in V^{\sigma} \cap V^{\sigma \perp} = \{0\}$。故 $\bar{v} = v_1$。
公式：$\bar{v} - v_1 = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^i(v_2) \in V^{\sigma} \cap V^{\sigma \perp} = \{0\}$
提示：注意 $V^{\sigma}$ 与 $V^{\sigma \perp}$ 正交，交只有零向量。
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