华东师范大学 2022年高等代数第3题
📝 题目
3．（20 分）考虑未定元为 $x$ 和 $y$ 的次数至多为 2 的复系数二元多项式空间。求线性变换
$$
\mathscr{A}: f(x, y) \rightarrow f(2 x+1,2 y+1)
$$
的 Jordan 标准型。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定空间维数与基
考虑次数至多为2的二元复系数多项式空间 $V = \{f(x,y) \in \mathbb{C}[x,y] \mid \deg f \leq 2\}$。其基可取为 $1, x, y, x^2, xy, y^2$，维数为 $\dim V = 6$。
提示：注意次数至多2，包括常数项、一次项和二次项，共6个基向量。
步骤 2/7
目标：计算线性变换在基下的像
线性变换 $\mathscr{A}: f(x,y) \mapsto f(2x+1, 2y+1)$。计算每个基向量的像：
- $\mathscr{A}(1) = 1$
- $\mathscr{A}(x) = 2x+1$
- $\mathscr{A}(y) = 2y+1$
- $\mathscr{A}(x^2) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
- $\mathscr{A}(xy) = (2x+1)(2y+1) = 4xy + 2x + 2y + 1$
- $\mathscr{A}(y^2) = (2y+1)^2 = 4y^2 + 4y + 1$
公式：$(ax+b)^2 = a^2 x^2 + 2ab x + b^2$
提示：展开时注意完全平方公式和乘法分配律。
步骤 3/7
目标：写出变换矩阵
将像按基 $1, x, y, x^2, xy, y^2$ 的坐标写成列向量，得到矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 4 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix}$$
提示：注意列的顺序与基的顺序一致，每个像的坐标是列向量。
步骤 4/7
目标：求特征值
矩阵 $A$ 是上三角矩阵，特征值为对角线元素：$1, 2, 2, 4, 4, 4$。代数重数：$\lambda=1$ 重数1，$\lambda=2$ 重数2，$\lambda=4$ 重数3。
提示：上三角矩阵的特征值即对角线元素。
步骤 5/7
目标：求特征值1和2的几何重数
对于 $\lambda=1$：$A-I$ 的秩为5，零空间维数1，几何重数1，Jordan块大小1。
对于 $\lambda=2$：计算 $A-2I$：
$$A-2I = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$$
通过行变换可得秩为4，零空间维数2，几何重数2，代数重数2，故两个1阶Jordan块。
提示：计算几何重数时，注意行变换化简，避免计算错误。
步骤 6/7
目标：求特征值4的几何重数
对于 $\lambda=4$：计算 $A-4I$：
$$A-4I = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -2 & 0 & 4 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
前三行线性无关，秩为3，零空间维数3，几何重数3，代数重数3，故三个1阶Jordan块。
提示：注意矩阵的秩等于非零行的行数。
步骤 7/7
目标：写出Jordan标准型
所有特征值的几何重数等于代数重数，故Jordan标准型为对角矩阵：
$$J = \operatorname{diag}(1, 2, 2, 4, 4, 4) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix}$$
提示：Jordan标准型中，每个特征值对应的Jordan块个数等于几何重数，块大小由代数重数和几何重数决定。
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