华东师范大学 2022年高等代数第2题

由于 $A$ 是3阶实对称矩阵，秩为2，且 $-2$ 是二重特征值，所以 $A$ 的特征值为 $-2, -2, \lambda$。因为秩为2，所以 $\lambda = 0$（否则若 $\lambda \neq 0$，则秩为3）。因此特征值为 $-2, -2, 0$。

已知 $(1,0,0)^\top$ 和 $(2,1,1)^\top$ 是特征值 $-2$ 的特征向量。由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，所以属于特征值 $0$ 的特征向量与这两个向量正交。设 $\alpha = (x,y,z)^\top$ 是特征值 $0$ 的特征向量，则 \[ \begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases} \] 解得 $x=0$，$y+z=0$，取 $y=1, z=-1$，得 $\alpha = (0,1,-1)^\top$。

取 $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$，则 $AP = P\Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(-2, -2, 0)$。即 \[ A \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}. \]

设 $A = (a_{ij})$，由 $A \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}$，得 $a_{11}=-2, a_{21}=0, a_{31}=0$。

由 $A \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{12}-a_{13}\\a_{22}-a_{23}\\a_{32}-a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$，得 $a_{12}=a_{13}$，$a_{22}=a_{23}$，$a_{32}=a_{33}$。

由 $A \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a_{11}+a_{12}+a_{13}\\2a_{21}+a_{22}+a_{23}\\2a_{31}+a_{32}+a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\-2\\-2\end{pmatrix}$，代入已知值： \[ \begin{cases} 2(-2)+a_{12}+a_{13} = -4 \Rightarrow -4 + 2a_{12} = -4 \Rightarrow a_{12}=0 \\ 2\cdot0 + a_{22}+a_{23} = -2 \Rightarrow 2a_{22} = -2 \Rightarrow a_{22}=-1 \\ 2\cdot0 + a_{32}+a_{33} = -2 \Rightarrow 2a_{32} = -2 \Rightarrow a_{32}=-1 \end{cases} \] 所以 $a_{13}=a_{12}=0$，$a_{23}=a_{22}=-1$，$a_{33}=a_{32}=-1$。

因此 $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$。验证：$A$ 对称，秩为2，特征值 $-2$（二重）和 $0$。