华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
10、设 $A=J_{2025}(0)$ ，复线性空间 $V=\left\{X \in M_{2025}(\mathbb{C}) \mid A X=X A^{2}\right\}$ ．则 $\operatorname{dim}(V)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与已知条件
给定 $A=J_{2025}(0)$，即2025阶若尔当块，特征值0，幂零指数2025。定义复线性空间 $V=\{X\in M_{2025}(\mathbb{C})\mid AX=XA^2\}$，需要求 $\dim V$。
提示：注意 $A$ 是单个若尔当块，不是对角矩阵。
步骤 2/6
目标：分析 $A^2$ 的若尔当标准型
由于 $A=J_{2025}(0)$，$A^2$ 是幂零矩阵。对于 $n$ 阶若尔当块 $J_n(0)$，$J_n(0)^2$ 的若尔当标准型包含 $\lfloor n/2 \rfloor$ 个2阶若尔当块，当 $n$ 为奇数时还有一个1阶若尔当块。这里 $n=2025$ 为奇数，故 $A^2$ 的若尔当标准型为 $\operatorname{diag}(J_2(0),\dots,J_2(0),J_1(0))$，共1012个2阶块和1个1阶块。
公式：$J_n(0)^2$ 的若尔当标准型：$\lfloor n/2 \rfloor$ 个 $J_2(0)$，若 $n$ 奇数再加一个 $J_1(0)$
提示：注意 $A^2$ 本身不是若尔当标准型，需要化为标准型。
步骤 3/6
目标：将方程化为若尔当标准型形式
存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=J$，其中 $J=J_{2025}(0)$。则 $P^{-1}A^2P=J^2$。方程 $AX=XA^2$ 化为 $JY=YJ^2$，其中 $Y=P^{-1}XP$。再取可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}J^2Q=J''=\operatorname{diag}(J_2(0),\dots,J_2(0),J_1(0))$。令 $Z=Q^{-1}YQ$，则方程化为 $J'Z=ZJ''$，其中 $J'=Q^{-1}JQ$ 与 $J$ 相似，其若尔当标准型仍为 $J_{2025}(0)$。
提示：注意 $J'$ 不是标准若尔当块，但相似于 $J_{2025}(0)$，因此其若尔当块大小仍为2025。
步骤 4/6
目标：应用矩阵方程维数公式
对于矩阵方程 $AX=XB$，若 $A$ 和 $B$ 均为若尔当标准型且特征值相同（这里均为0），则解空间的维数等于 $\sum_{i,j} \min(\mu_i, \nu_j)$，其中 $\mu_i$ 是 $A$ 的若尔当块大小，$\nu_j$ 是 $B$ 的若尔当块大小。这里 $A$ 的若尔当块大小为2025（一个块），$B=A^2$ 的若尔当块大小为：1012个2和1个1。
公式：$\dim\{X\mid AX=XB\} = \sum_{i,j}\min(\mu_i,\nu_j)$
提示：公式要求 $A$ 和 $B$ 均为若尔当标准型，且特征值相同。
步骤 5/6
目标：计算维数
代入公式：$\dim V = \min(2025,2) \times 1012 + \min(2025,1) \times 1 = 2 \times 1012 + 1 \times 1 = 2024 + 1 = 2025$。
提示：注意 $\min(2025,2)=2$，$\min(2025,1)=1$。
步骤 6/6
目标：验证与结论
因此，线性空间 $V$ 的维数为2025。
提示：也可通过解线性方程组验证，但若尔当块方法更简洁。
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