📝 华东师范大学 2025年高等代数真题

1、满足以下同余方程组 $\left\{\begin{array}{l}f(x) \equiv 6, \bmod (x+1) \\ f(x) \equiv 3 x, \bmod \left(x^{2}+x+1\right) \\ f(x) \equiv(x-1)^{2}, \bmod \left(2 x^{3}+1\right)\end{array}\right.$ 且次数达到最小的多项式 $f(x)$ 为 $\_\_\_\_$ ．

2、实系数多项式 $f(x)=x^{5}+3 x^{4}+5 x^{3}+5 x^{2}+3 x+1$ 与其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的最大公因式为 $\_\_\_\_$。

3、使实二次型 $q(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t(x z-z y-y x)$ 正定的实数 $t$的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

4、已知方阵 $\mathbf{A}$ 的初等因子组为 $(\mathbf{\lambda}+\mathbf{2}),(\mathbf{\lambda}+\mathbf{2})^{2},(\mathbf{\lambda}-\mathbf{2})^{2},(\mathbf{\lambda}-\mathbf{2})^{2}$ ，则其逆矩阵 $\mathbf{A}^{-\mathbf{1}}$ 的极小多项式 $\mathbf{m}_{\mathbf{A}^{-\mathbf{1}}}(\mathbf{\lambda})$ 为 $\_\_\_\_$。

5、考虑欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中向量 $\alpha=(1,1,1), \beta=(1,0,1), \gamma=(0,1,1)$ ，设 $t, s$ 是使得 $|\mathbf{\alpha}-\mathbf{t} \mathbf{\beta}-s \mathbf{\gamma}|$ 达到最小的实数，那么向量 $\mathbf{\alpha}-\mathbf{t} \mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}-s \mathbf{\gamma}$ 的夹角余弦值为 $\_\_\_\_$。

6、设 $\mathbf{A}=\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}) \mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}),(\mathbf{\lambda}, \mathbf{\mu} \in \mathbb{C})$ ，则矩阵函数 $\mathbf{e}^{\mathbf{A}}$的行列式为 $\_\_\_\_$

7、已知线性映射 $\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\varphi(x, y, z, w)=(10 x-3 z+4 w, 2 x +3 y+2 w, 5 y+z+2 w,-2 x+2 y+z)$ ，则核空间 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ 的维数是

8、考虑置换 $\sigma(1276)(354), \tau=(1637)(24)(5)$ ，则 $\sigma^{-1} \tau^{-1} \sigma \tau=$ $\_\_\_\_$。
（写成不相交轮换积）

9、实对称矩阵 $A=J_{3}(0)+J_{3}(0)^{T}$ 可以通过正交相似变换化为对角阵
$\_\_\_\_$。

10、设 $A=J_{2025}(0)$ ，复线性空间 $V=\left\{X \in M_{2025}(\mathbb{C}) \mid A X=X A^{2}\right\}$ ．则 $\operatorname{dim}(V)=$ $\_\_\_\_$。

11、设多项式 $f(x)=x^{4}+2 x^{2}+a, g(x)=x^{4}-4 x^{2}+12 x-9(a \in \mathbb{C})$ 在复数域上有公共根，求 $a$ 的值并确定 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公共根．

12、考虑方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+(3-\lambda) x_{2}-2 x_{3}=1 \\ (4-\lambda) x_{1}+(7-\lambda) x_{2}-6 x_{3}=3 \\ 4 x_{1}+(9-\lambda) x_{2}+(\lambda-9) x_{3}=\lambda+3\end{array}\right.$ ．问 $\lambda$ 取何值时？方程组无解，有唯一解，无穷多解．并在有解时．求出该方程全部解．

13、设 $N \in M_{n}(\mathbb{C})$ 为 $n$ 阶方阵，满足：$N^{n}=O$ ，但 $N^{n-1} \neq 0,(n \geq 2)$ ．证明：不存在 $n$ 阶复方阵 $A$ ，使得 $A^{2}=N$ ．

14、设 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 是正惯性指数为 1 的实对称矩阵，$V$ 是实数域上 $n$ 维列向量空间，定义 $V$ 上的双线性型：$f(u, v)=u^{T} A u,(\forall u, v \in V)$ ．设 $u \in V$ 满足：$f(u, v)>0$ ，证明：对 $\forall v \in V$ ，有 $f(u, u) f(v, v) \leq f^{2}(u, v)$ ，等号成立时，当且仅当 $\exists r \in \mathbb{R}$ ，使得 $f(w, v)=f(w, r u),(\forall w \in V)$ ．

15、设复数域上全体二元二次型构成集合 $V$ ：

$$
V=\left\{q(x, y)=c_{0} x^{2}+c_{1} x y+c_{2} y^{2} \mid c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb{C}\right\}
$$

给定矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，考虑 $V$ 上的线性变换：

$$
\varphi_{M}: V \mapsto V, q(x, y) \mapsto q(a x+b y, c x+d y)
$$

（1）证明： $\operatorname{det} M$ 是 $\varphi_{M}$ 特征值，当 $M=\left(\begin{array}{cc}\mu & 1 \\ 0 & \mu\end{array}\right), \mu \in \mathbb{C}$ ，计算 $\varphi_{M}$ 属于特征值 $\operatorname{det} M$ 的所有特征向量。
（2）证明：$\varphi_{M}$ 可对角化当且仅当 $M$ 可对角化．

二、计算题．（每题 20 分，共 100 分）