华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
15、设复数域上全体二元二次型构成集合 $V$ ：
$$
V=\left\{q(x, y)=c_{0} x^{2}+c_{1} x y+c_{2} y^{2} \mid c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb{C}\right\}
$$
给定矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，考虑 $V$ 上的线性变换：
$$
\varphi_{M}: V \mapsto V, q(x, y) \mapsto q(a x+b y, c x+d y)
$$
（1）证明： $\operatorname{det} M$ 是 $\varphi_{M}$ 特征值，当 $M=\left(\begin{array}{cc}\mu & 1 \\ 0 & \mu\end{array}\right), \mu \in \mathbb{C}$ ，计算 $\varphi_{M}$ 属于特征值 $\operatorname{det} M$ 的所有特征向量。
（2）证明：$\varphi_{M}$ 可对角化当且仅当 $M$ 可对角化．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立线性变换在基下的矩阵
取基 $\{x^2, xy, y^2\}$，计算 $\varphi_M(q)$ 的表达式。设 $q(x,y)=c_0x^2+c_1xy+c_2y^2$，则 $\varphi_M(q)(x,y)=q(ax+by, cx+dy)=c_0(ax+by)^2+c_1(ax+by)(cx+dy)+c_2(cx+dy)^2$。展开并整理得：$\varphi_M(q)(x,y)=(c_0a^2+c_1ac+c_2c^2)x^2+(2c_0ab+c_1(ad+bc)+2c_2cd)xy+(c_0b^2+c_1bd+c_2d^2)y^2$。因此 $\varphi_M$ 在基下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} a^2 & ac & c^2 \\ 2ab & ad+bc & 2cd \\ b^2 & bd & d^2 \end{pmatrix}$。
公式：$A=\begin{pmatrix} a^2 & ac & c^2 \\ 2ab & ad+bc & 2cd \\ b^2 & bd & d^2 \end{pmatrix}$
提示：注意展开时系数不要遗漏，特别是交叉项系数2。
步骤 2/7
目标：证明 $\det M$ 是 $\varphi_M$ 的特征值
由于 $A$ 是 $M$ 的对称平方表示，$M$ 的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$ 满足 $\det M=\lambda_1\lambda_2$，而 $A$ 的特征值为 $\lambda_1^2,\lambda_1\lambda_2,\lambda_2^2$，因此 $\det M$ 是 $A$ 的特征值，即 $\varphi_M$ 的特征值。
公式：$\det M = \lambda_1\lambda_2$
提示：利用矩阵的对称平方表示性质，避免直接计算特征多项式。
步骤 3/7
目标：计算 $M=\begin{pmatrix} \mu & 1 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}$ 时 $A$ 的具体形式
代入 $a=\mu, b=1, c=0, d=\mu$ 得 $A=\begin{pmatrix} \mu^2 & 0 & 0 \\ 2\mu & \mu^2 & 0 \\ 1 & \mu & \mu^2 \end{pmatrix}$。
公式：$A=\begin{pmatrix} \mu^2 & 0 & 0 \\ 2\mu & \mu^2 & 0 \\ 1 & \mu & \mu^2 \end{pmatrix}$
提示：注意 $c=0$ 时 $ac=0, c^2=0$ 等简化。
步骤 4/7
目标：求特征值 $\mu^2$ 的特征向量（$\mu \neq 0$）
解 $(A-\mu^2 I)v=0$，其中 $A-\mu^2 I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2\mu & 0 & 0 \\ 1 & \mu & 0 \end{pmatrix}$。秩为2，零空间维数为1。方程 $2\mu v_1=0$ 且 $v_1+\mu v_2=0$，得 $v_1=0, v_2=0$，$v_3$ 自由。特征向量为 $(0,0,1)^T$，对应二次型 $y^2$。
公式：$(A-\mu^2 I)v=0$
提示：注意 $\mu \neq 0$ 时 $2\mu \neq 0$，确保 $v_1=0$。
步骤 5/7
目标：求特征值 $0$ 的特征向量（$\mu=0$）
当 $\mu=0$ 时，$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$A-0I=A$，秩为1，零空间维数为2。方程 $v_1=0$，$v_2,v_3$ 自由。特征向量为 $(0,\alpha,\beta)^T$，对应二次型 $\alpha xy+\beta y^2$（$\alpha,\beta$ 不全为零）。
公式：$A v=0$
提示：注意 $\mu=0$ 时 $A$ 的秩为1，不要误判。
步骤 6/7
目标：证明 $\varphi_M$ 可对角化当且仅当 $M$ 可对角化（充分性）
若 $M$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}MP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$。则 $\varphi_M$ 在基 $\{x^2,xy,y^2\}$ 下的矩阵 $A$ 可通过 $P$ 诱导的变换对角化，实际上 $A$ 相似于 $\operatorname{diag}(\lambda_1^2,\lambda_1\lambda_2,\lambda_2^2)$，故 $\varphi_M$ 可对角化。
公式：$P^{-1}MP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$
提示：注意 $A$ 的相似变换由 $P$ 的对称平方给出。
步骤 7/7
目标：证明 $\varphi_M$ 可对角化当且仅当 $M$ 可对角化（必要性）
反证法。若 $\varphi_M$ 可对角化但 $M$ 不可对角化，则 $M$ 相似于 Jordan 块 $J=\begin{pmatrix} \mu & 1 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}$。此时 $A$ 相似于 $\begin{pmatrix} \mu^2 & 0 & 0 \\ 2\mu & \mu^2 & 0 \\ 1 & \mu & \mu^2 \end{pmatrix}$，其 Jordan 标准形为 $\begin{pmatrix} \mu^2 & 1 & 0 \\ 0 & \mu^2 & 1 \\ 0 & 0 & \mu^2 \end{pmatrix}$（$\mu \neq 0$）或 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（$\mu=0$），均不可对角化，矛盾。故 $M$ 可对角化。
公式：$J=\begin{pmatrix} \mu & 1 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}$
提示：注意区分 $\mu=0$ 和 $\mu \neq 0$ 的情况，Jordan 标准形不同。
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