华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5、考虑欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中向量 $\alpha=(1,1,1), \beta=(1,0,1), \gamma=(0,1,1)$ ，设 $t, s$ 是使得 $|\mathbf{\alpha}-\mathbf{t} \mathbf{\beta}-s \mathbf{\gamma}|$ 达到最小的实数，那么向量 $\mathbf{\alpha}-\mathbf{t} \mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}-s \mathbf{\gamma}$ 的夹角余弦值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题并设定目标
给定欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 中的向量 $\alpha=(1,1,1)$, $\beta=(1,0,1)$, $\gamma=(0,1,1)$。我们需要找到实数 $t,s$ 使得 $|\alpha - t\beta - s\gamma|$ 最小，然后计算向量 $\alpha - t\beta$ 与 $\alpha - s\gamma$ 的夹角余弦值。
提示：注意 $|\alpha - t\beta - s\gamma|$ 是向量模长，最小化它等价于求 $\alpha$ 在 $\beta,\gamma$ 张成的子空间上的正交投影。
步骤 2/7
目标：建立正交条件
设投影向量为 $t\beta + s\gamma$，则残差向量 $\alpha - t\beta - s\gamma$ 与子空间正交，即与 $\beta$ 和 $\gamma$ 都正交。因此有内积条件：
$$\langle \alpha - t\beta - s\gamma, \beta \rangle = 0, \quad \langle \alpha - t\beta - s\gamma, \gamma \rangle = 0$$
公式：正交条件：$\langle \alpha - t\beta - s\gamma, \beta \rangle = 0$ 和 $\langle \alpha - t\beta - s\gamma, \gamma \rangle = 0$
提示：正交条件是投影问题的核心，确保残差向量垂直于子空间。
步骤 3/7
目标：计算所需内积
计算所有相关内积：
$$\langle \alpha, \beta \rangle = 1\cdot1+1\cdot0+1\cdot1 = 2$$
$$\langle \alpha, \gamma \rangle = 1\cdot0+1\cdot1+1\cdot1 = 2$$
$$\langle \beta, \beta \rangle = 1^2+0^2+1^2 = 2$$
$$\langle \beta, \gamma \rangle = 1\cdot0+0\cdot1+1\cdot1 = 1$$
$$\langle \gamma, \gamma \rangle = 0^2+1^2+1^2 = 2$$
公式：内积定义：$\langle (a,b,c), (d,e,f) \rangle = ad+be+cf$
提示：计算内积时注意对应分量相乘再求和，避免遗漏或符号错误。
步骤 4/7
目标：列出并求解方程组
由正交条件得到方程组：
$$\langle \alpha,\beta \rangle - t\langle \beta,\beta \rangle - s\langle \gamma,\beta \rangle = 0 \Rightarrow 2 - 2t - s = 0$$
$$\langle \alpha,\gamma \rangle - t\langle \beta,\gamma \rangle - s\langle \gamma,\gamma \rangle = 0 \Rightarrow 2 - t - 2s = 0$$
整理得：
$$\begin{cases} 2t + s = 2 \\ t + 2s = 2 \end{cases}$$
解方程组：将第一式乘以2减去第二式得 $3t=2$，故 $t=\frac{2}{3}$；代入得 $s=\frac{2}{3}$。
公式：线性方程组求解
提示：解方程组时注意系数，可选用加减消元法或代入法，避免计算错误。
步骤 5/7
目标：计算向量 $\alpha - t\beta$ 和 $\alpha - s\gamma$
将 $t=s=\frac{2}{3}$ 代入：
$$\alpha - t\beta = (1,1,1) - \frac{2}{3}(1,0,1) = \left(1-\frac{2}{3}, 1-0, 1-\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, 1, \frac{1}{3}\right)$$
$$\alpha - s\gamma = (1,1,1) - \frac{2}{3}(0,1,1) = \left(1-0, 1-\frac{2}{3}, 1-\frac{2}{3}\right) = \left(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$$
公式：向量线性运算
提示：注意向量减法时对应分量相减，系数乘向量时每个分量都乘。
步骤 6/7
目标：计算两个向量的内积和模长
内积：
$$\langle \alpha - t\beta, \alpha - s\gamma \rangle = \frac{1}{3}\cdot1 + 1\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$$
模长：
$$|\alpha - t\beta| = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{9}+1+\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{11}{9}} = \frac{\sqrt{11}}{3}$$
$$|\alpha - s\gamma| = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{11}{9}} = \frac{\sqrt{11}}{3}$$
公式：内积和模长公式：$\langle u,v \rangle = \sum u_i v_i$, $|u| = \sqrt{\langle u,u \rangle}$
提示：计算内积时注意分数相加，模长计算时平方和要仔细。
步骤 7/7
目标：计算夹角余弦值
由夹角余弦公式：
$$\cos\theta = \frac{\langle \alpha - t\beta, \alpha - s\gamma \rangle}{|\alpha - t\beta| \cdot |\alpha - s\gamma|} = \frac{\frac{7}{9}}{\frac{\sqrt{11}}{3} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3}} = \frac{\frac{7}{9}}{\frac{11}{9}} = \frac{7}{11}$$
公式：夹角余弦公式：$\cos\theta = \frac{\langle u,v \rangle}{|u||v|}$
提示：注意分母是两个模长的乘积，不要忘记开方。最终结果化简为最简分数。
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