华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2、实系数多项式 $f(x)=x^{5}+3 x^{4}+5 x^{3}+5 x^{2}+3 x+1$ 与其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的最大公因式为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求导函数
对 $f(x)=x^{5}+3x^{4}+5x^{3}+5x^{2}+3x+1$ 求导，得到 $f'(x)=5x^{4}+12x^{3}+15x^{2}+10x+3$。
公式：$f'(x)=5x^{4}+12x^{3}+15x^{2}+10x+3$
提示：注意幂函数求导公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$，常数项导数为0。
步骤 2/7
目标：第一步辗转相除：$f(x)$ 除以 $f'(x)$
做多项式除法：$f(x) = \frac{1}{5}x \cdot f'(x) + \left( \frac{3}{5}x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1 \right)$。为消除分数，两边乘以5：$5f(x) = x \cdot f'(x) + (3x^{4}+10x^{3}+15x^{2}+10x+5)$。因此余式 $r_1(x)=3x^{4}+10x^{3}+15x^{2}+10x+5$。
公式：$5f(x) = x \cdot f'(x) + r_1(x)$，其中 $r_1(x)=3x^{4}+10x^{3}+15x^{2}+10x+5$
提示：辗转相除法中，为了保持整数系数，可以适当乘以常数，但最后要归一化。
步骤 3/7
目标：第二步辗转相除：$f'(x)$ 除以 $r_1(x)$
计算 $3f'(x)-5r_1(x) = -14x^{3}-30x^{2}-20x-16$，取负号得 $r_2(x)=14x^{3}+30x^{2}+20x+16$。
公式：$3f'(x)-5r_1(x) = -14x^{3}-30x^{2}-20x-16$，故 $r_2(x)=14x^{3}+30x^{2}+20x+16$
提示：注意符号处理，余式通常取正系数。
步骤 4/7
目标：第三步辗转相除：$r_1(x)$ 除以 $r_2(x)$
计算 $14r_1(x)-3x \cdot r_2(x) = 50x^{3}+150x^{2}+92x+70$，再减去 $\frac{25}{7}r_2(x)$ 得 $300x^{2}+144x+90$，约去公因子6得 $r_3(x)=50x^{2}+24x+15$。
公式：$r_3(x)=50x^{2}+24x+15$
提示：中间步骤可乘以常数简化计算，但最后要提取公因子。
步骤 5/7
目标：第四步辗转相除：$r_2(x)$ 除以 $r_3(x)$
计算 $25r_2(x)-7x \cdot r_3(x) = 582x^{2}+395x+400$，再减去 $\frac{291}{25}r_3(x)$ 得 $2891x+5635$，约去公因子7得 $r_4(x)=413x+805$。
公式：$r_4(x)=413x+805$
提示：注意系数较大时，可先提取公因子简化。
步骤 6/7
目标：第五步辗转相除：$r_3(x)$ 除以 $r_4(x)$
计算 $413r_3(x)-50x \cdot r_4(x) = -30338x+6195$，取正得 $r_5(x)=30338x-6195$。
公式：$r_5(x)=30338x-6195$
提示：注意符号，余式取正。
步骤 7/7
目标：第六步辗转相除：$r_4(x)$ 除以 $r_5(x)$
计算 $30338r_4(x)-413r_5(x) = 26980625$，得到非零常数余数。因此最大公因式为常数，即 $1$（首一化）。
公式：余数为常数 $26980625 \neq 0$，故 $\gcd(f,f')=1$
提示：辗转相除最后余数为非零常数，说明多项式互素。
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