华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
8、考虑置换 $\sigma(1276)(354), \tau=(1637)(24)(5)$ ，则 $\sigma^{-1} \tau^{-1} \sigma \tau=$ $\_\_\_\_$。
（写成不相交轮换积）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出给定置换的轮换形式
给定 $\sigma = (1\ 2\ 7\ 6)(3\ 5\ 4)$，$\tau = (1\ 6\ 3\ 7)(2\ 4)(5)$。注意 $(5)$ 是恒等置换，可省略。
提示：确保轮换顺序正确，但轮换的起始点不影响结果。
步骤 2/4
目标：计算逆置换
逆置换只需将每个轮换反向：$\sigma^{-1} = (1\ 6\ 7\ 2)(3\ 4\ 5)$，$\tau^{-1} = (1\ 7\ 3\ 6)(2\ 4)$。
公式：$(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)^{-1} = (a_k\ \cdots\ a_2\ a_1)$
提示：注意轮换反向时顺序颠倒，但保持循环结构。
步骤 3/4
目标：计算每个元素在复合置换下的像
设 $\rho = \sigma^{-1} \tau^{-1} \sigma \tau$。对于每个 $x \in \{1,2,3,4,5,6,7\}$，计算 $\rho(x) = \sigma^{-1}(\tau^{-1}(\sigma(\tau(x))))$。
例如 $x=1$：$\tau(1)=6$，$\sigma(6)=1$，$\tau^{-1}(1)=7$，$\sigma^{-1}(7)=2$，故 $\rho(1)=2$。
类似地计算所有元素：
- $\rho(2)=7$
- $\rho(3)=6$
- $\rho(4)=4$
- $\rho(5)=1$
- $\rho(6)=3$
- $\rho(7)=5$
提示：按顺序应用置换，从最内层开始：先 $\tau$，再 $\sigma$，再 $\tau^{-1}$，最后 $\sigma^{-1}$。
步骤 4/4
目标：将结果写成不相交轮换的乘积
根据像的映射：$1\to2$，$2\to7$，$7\to5$，$5\to1$，构成4-轮换 $(1\ 2\ 7\ 5)$；$3\to6$，$6\to3$，构成对换 $(3\ 6)$；$4$ 不动。因此 $\rho = (1\ 2\ 7\ 5)(3\ 6)$。
提示：检查每个元素是否都被覆盖，确保轮换不相交。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。