华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
7、已知线性映射 $\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\varphi(x, y, z, w)=(10 x-3 z+4 w, 2 x +3 y+2 w, 5 y+z+2 w,-2 x+2 y+z)$ ，则核空间 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ 的维数是
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出线性映射对应的矩阵
线性映射 $\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ 由矩阵 $A$ 给出，其中 $A = \begin{pmatrix} 10 & 0 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意系数对应位置，确保矩阵元素正确。
步骤 2/6
目标：建立核空间对应的齐次线性方程组
核空间 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ 是齐次线性方程组 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的解空间，其中 $\mathbf{x} = (x, y, z, w)^T$。
公式：$A \mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：核空间定义为所有映射到零向量的向量集合。
步骤 3/6
目标：对矩阵A进行初等行变换（第一步）
对 $A$ 进行行变换：$\begin{pmatrix} 10 & 0 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - \frac{1}{5}R_1} \begin{pmatrix} 10 & 0 & -3 & 4 \\ 0 & 3 & \frac{3}{5} & \frac{6}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_4 + \frac{1}{5}R_1} \begin{pmatrix} 10 & 0 & -3 & 4 \\ 0 & 3 & \frac{3}{5} & \frac{6}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix}$。
提示：行变换时注意分数运算，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：对矩阵A进行初等行变换（第二步）
继续行变换：$\xrightarrow{R_3 - \frac{5}{3}R_2} \begin{pmatrix} 10 & 0 & -3 & 4 \\ 0 & 3 & \frac{3}{5} & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix} \xrightarrow{R_4 - \frac{2}{3}R_2} \begin{pmatrix} 10 & 0 & -3 & 4 \\ 0 & 3 & \frac{3}{5} & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意行变换后矩阵的秩由非零行数决定。
步骤 5/6
目标：确定矩阵的秩
行阶梯形矩阵有2个非零行，所以矩阵的秩为 $\operatorname{rank}(A) = 2$。
提示：秩等于行阶梯形中非零行的个数。
步骤 6/6
目标：计算核空间的维数
由维数公式，$\dim \operatorname{Ker}(\varphi) = 4 - \operatorname{rank}(A) = 4 - 2 = 2$。
公式：$\dim \operatorname{Ker}(\varphi) = n - \operatorname{rank}(A)$，其中 $n$ 是定义域维数。
提示：注意定义域是 $\mathbb{R}^4$，维数为4。
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