华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
9、实对称矩阵 $A=J_{3}(0)+J_{3}(0)^{T}$ 可以通过正交相似变换化为对角阵
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造矩阵A
已知 $J_3(0)$ 是3阶若尔当块，主对角线元素为0，次对角线元素为1，即
$$J_3(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
则 $J_3(0)^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。
所以
$$A = J_3(0) + J_3(0)^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：注意若尔当块的定义，次对角线为1，其余为0。
步骤 2/6
目标：求特征值
计算特征多项式：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ -1 & \lambda & -1 \\ 0 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda(\lambda^2 - 1) - (-1)(-\lambda) = \lambda^3 - 2\lambda = \lambda(\lambda^2 - 2).$$
特征值为 $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = \sqrt{2}$, $\lambda_3 = -\sqrt{2}$。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)=0$
提示：计算行列式时注意符号，避免漏项。
步骤 3/6
目标：求特征向量（λ=0）
解 $(0I - A)x = 0$，即
$$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0.$$
得 $-x_2 = 0$, $-x_1 - x_3 = 0$, $-x_2 = 0$，所以 $x_2 = 0$, $x_1 = -x_3$。取 $x_1 = 1$, $x_3 = -1$，得 $\alpha_1 = (1, 0, -1)^T$。单位化：$\beta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, -1)^T$。
提示：解齐次线性方程组时注意自由变量的选取，单位化时注意模长。
步骤 4/6
目标：求特征向量（λ=√2）
解 $(\sqrt{2}I - A)x = 0$，即
$$\begin{pmatrix} \sqrt{2} & -1 & 0 \\ -1 & \sqrt{2} & -1 \\ 0 & -1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0.$$
得 $\sqrt{2}x_1 - x_2 = 0$, $-x_1 + \sqrt{2}x_2 - x_3 = 0$, $-x_2 + \sqrt{2}x_3 = 0$。由第一式 $x_2 = \sqrt{2}x_1$，代入第三式得 $x_1 = x_3$。取 $x_1 = 1$，得 $\alpha_2 = (1, \sqrt{2}, 1)^T$。单位化：$\beta_2 = \frac{1}{2}(1, \sqrt{2}, 1)^T$。
提示：注意代入验证，确保方程组成立。
步骤 5/6
目标：求特征向量（λ=-√2）
解 $(-\sqrt{2}I - A)x = 0$，即
$$\begin{pmatrix} -\sqrt{2} & -1 & 0 \\ -1 & -\sqrt{2} & -1 \\ 0 & -1 & -\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0.$$
得 $-\sqrt{2}x_1 - x_2 = 0$, $-x_1 - \sqrt{2}x_2 - x_3 = 0$, $-x_2 - \sqrt{2}x_3 = 0$。由第一式 $x_2 = -\sqrt{2}x_1$，代入第三式得 $x_1 = x_3$。取 $x_1 = 1$，得 $\alpha_3 = (1, -\sqrt{2}, 1)^T$。单位化：$\beta_3 = \frac{1}{2}(1, -\sqrt{2}, 1)^T$。
提示：注意符号，与λ=√2的情况类似但符号不同。
步骤 6/6
目标：构造正交矩阵并写出对角化结果
将单位化后的特征向量按列构成正交矩阵 $Q = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$，则 $Q^T A Q = \operatorname{diag}(0, \sqrt{2}, -\sqrt{2})$。因此，$A$ 可以通过正交相似变换化为对角阵 $\operatorname{diag}(0, \sqrt{2}, -\sqrt{2})$。
公式：正交相似变换：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：正交矩阵的列向量需单位正交，且特征值顺序与特征向量列对应。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。