华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
11、设多项式 $f(x)=x^{4}+2 x^{2}+a, g(x)=x^{4}-4 x^{2}+12 x-9(a \in \mathbb{C})$ 在复数域上有公共根，求 $a$ 的值并确定 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公共根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设公共根并作差消去高次项
设 $\alpha$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公共根，则 $f(\alpha)=0$ 且 $g(\alpha)=0$。两式相减得：
$$f(\alpha)-g(\alpha)=(\alpha^4+2\alpha^2+a)-(\alpha^4-4\alpha^2+12\alpha-9)=6\alpha^2-12\alpha+a+9=0$$
从而得到 $a$ 与 $\alpha$ 的关系：$a = -6\alpha^2+12\alpha-9$。
公式：$f(\alpha)-g(\alpha)=6\alpha^2-12\alpha+a+9=0$
提示：注意相减时各项符号，避免计算错误。
步骤 2/6
目标：代入消去a，得到仅含α的方程
将 $a = -6\alpha^2+12\alpha-9$ 代入 $f(\alpha)=0$ 得：
$$\alpha^4+2\alpha^2+(-6\alpha^2+12\alpha-9)=0 \Rightarrow \alpha^4-4\alpha^2+12\alpha-9=0$$
该方程恰好是 $g(\alpha)=0$，因此公共根 $\alpha$ 只需满足 $g(\alpha)=0$。
公式：$\alpha^4-4\alpha^2+12\alpha-9=0$
提示：代入后化简要仔细，注意合并同类项。
步骤 3/6
目标：因式分解g(x)求所有根
对 $g(x)=x^4-4x^2+12x-9$ 进行因式分解。首先试有理根：$x=1$ 时 $g(1)=1-4+12-9=0$，所以 $x-1$ 是因子。多项式除法得：
$$g(x)=(x-1)(x^3+x^2-3x+9)$$
再试 $x=-3$：$(-3)^3+(-3)^2-3(-3)+9=-27+9+9+9=0$，所以 $x+3$ 是因子。再除得：
$$x^3+x^2-3x+9=(x+3)(x^2-2x+3)$$
因此 $g(x)=(x-1)(x+3)(x^2-2x+3)$。
公式：$g(x)=(x-1)(x+3)(x^2-2x+3)$
提示：因式分解时注意试根，二次项系数为1时优先试整数根。
步骤 4/6
目标：解二次方程得到所有根
解二次方程 $x^2-2x+3=0$，判别式 $\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8$，所以根为：
$$x=\frac{2\pm\sqrt{-8}}{2}=1\pm\sqrt{2}i$$
因此 $g(x)$ 的四个根为：$1,\ -3,\ 1+\sqrt{2}i,\ 1-\sqrt{2}i$。
公式：$x=1\pm\sqrt{2}i$
提示：注意复数根成对出现，且判别式为负时正确使用虚数单位。
步骤 5/6
目标：将每个根代入f(x)求对应的a
公共根 $\alpha$ 需同时满足 $f(\alpha)=0$，代入 $f(x)=x^4+2x^2+a$ 求 $a$：
- 若 $\alpha=1$，则 $f(1)=1+2+a=3+a=0 \Rightarrow a=-3$。
- 若 $\alpha=-3$，则 $f(-3)=81+18+a=99+a=0 \Rightarrow a=-99$。
- 若 $\alpha=1+\sqrt{2}i$，计算：$(1+\sqrt{2}i)^2=-1+2\sqrt{2}i$，$(1+\sqrt{2}i)^4=(-1+2\sqrt{2}i)^2=-7-4\sqrt{2}i$，则 $f(1+\sqrt{2}i)=(-7-4\sqrt{2}i)+2(-1+2\sqrt{2}i)+a=-9+a=0 \Rightarrow a=9$。
- 同理 $\alpha=1-\sqrt{2}i$ 得 $a=9$。
公式：$f(\alpha)=0$ 代入求 $a$
提示：计算复数幂时要仔细，注意 $i^2=-1$，并合并实部和虚部。
步骤 6/6
目标：总结a的值及对应公共根
因此 $a$ 的可能值为 $-3,\ -99,\ 9$。对应公共根分别为：
- 当 $a=-3$ 时，公共根为 $1$；
- 当 $a=-99$ 时，公共根为 $-3$；
- 当 $a=9$ 时，公共根为 $1\pm\sqrt{2}i$（两个根都是公共根）。
提示：注意 $a=9$ 时有两个公共根，不要遗漏。
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