华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二、计算题．（每题 20 分，共 100 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出特征多项式
对于矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$，特征多项式为 $\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}$。
公式：$\det(A - \lambda I) = 0$
提示：注意矩阵减法：$A - \lambda I$ 是对角线减去 $\lambda$，非对角线不变。
步骤 2/5
目标：计算行列式并化简
计算行列式：$(1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3$。
公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：注意符号：$(1-\lambda)^2$ 展开为 $\lambda^2 - 2\lambda + 1$，减去4得 $\lambda^2 - 2\lambda - 3$。
步骤 3/5
目标：因式分解求特征值
令 $\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$，因式分解得 $(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$，解得特征值 $\lambda_1 = 3$，$\lambda_2 = -1$。
公式：$(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$
提示：因式分解时注意常数项：-3可分解为-3和1，和为-2。
步骤 4/5
目标：求特征值3的特征向量
解 $(A - 3I)\mathbf{x} = 0$：$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$，得 $-2x_1 + 2x_2 = 0$，即 $x_1 = x_2$。基础解系为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，全部特征向量为 $k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$k \neq 0$。
公式：$(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取，基础解系不唯一，但形式等价。
步骤 5/5
目标：求特征值-1的特征向量
解 $(A + I)\mathbf{x} = 0$：$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$，得 $2x_1 + 2x_2 = 0$，即 $x_1 = -x_2$。基础解系为 $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$，全部特征向量为 $k\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$，$k \neq 0$。
公式：$(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$
提示：注意 $\lambda = -1$ 时，$A - (-1)I = A + I$，不要混淆符号。
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