华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3、使实二次型 $q(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t(x z-z y-y x)$ 正定的实数 $t$的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $q(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t(xz - zy - yx)$ 可化为 $q = x^2 + y^2 + z^2 - t xy + t xz - t yz$。其矩阵为对称矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{t}{2} & \frac{t}{2} \\ -\frac{t}{2} & 1 & -\frac{t}{2} \\ \frac{t}{2} & -\frac{t}{2} & 1 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵元素 $a_{ij} = \frac{1}{2}(\text{系数}_{x_i x_j} + \text{系数}_{x_j x_i})$
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/7
目标：正定性判定条件
实二次型正定的充要条件是矩阵的各阶顺序主子式大于0。即 $D_1 > 0$, $D_2 > 0$, $D_3 > 0$。
提示：顺序主子式是从左上角开始依次取前k行和前k列构成的行列式。
步骤 3/7
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $D_1 = 1 > 0$，恒成立。
步骤 4/7
目标：计算二阶顺序主子式
二阶顺序主子式 $D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -\frac{t}{2} \\ -\frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \frac{t^2}{4} > 0$，解得 $t^2 < 4$，即 $-2 < t < 2$。
公式：二阶行列式公式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：注意符号，$(-\frac{t}{2})^2 = \frac{t^2}{4}$。
步骤 5/7
目标：计算三阶顺序主子式
三阶顺序主子式 $D_3 = \det A = \begin{vmatrix} 1 & -\frac{t}{2} & \frac{t}{2} \\ -\frac{t}{2} & 1 & -\frac{t}{2} \\ \frac{t}{2} & -\frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$\det A = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -\frac{t}{2} \\ -\frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} - (-\frac{t}{2}) \cdot \begin{vmatrix} -\frac{t}{2} & -\frac{t}{2} \\ \frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} + \frac{t}{2} \cdot \begin{vmatrix} -\frac{t}{2} & 1 \\ \frac{t}{2} & -\frac{t}{2} \end{vmatrix}$。
计算各子式：
$\begin{vmatrix} 1 & -\frac{t}{2} \\ -\frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \frac{t^2}{4}$，
$\begin{vmatrix} -\frac{t}{2} & -\frac{t}{2} \\ \frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = (-\frac{t}{2})\cdot 1 - (-\frac{t}{2})\cdot \frac{t}{2} = -\frac{t}{2} + \frac{t^2}{4}$，
$\begin{vmatrix} -\frac{t}{2} & 1 \\ \frac{t}{2} & -\frac{t}{2} \end{vmatrix} = (-\frac{t}{2})\cdot(-\frac{t}{2}) - 1\cdot \frac{t}{2} = \frac{t^2}{4} - \frac{t}{2}$。
代入得：
$\det A = (1 - \frac{t^2}{4}) + \frac{t}{2}(-\frac{t}{2} + \frac{t^2}{4}) + \frac{t}{2}(\frac{t^2}{4} - \frac{t}{2})$
$= 1 - \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2}(-t + \frac{t^2}{2})$
$= 1 - \frac{t^2}{4} - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{4}$
$= 1 - \frac{3t^2}{4} + \frac{t^3}{4}$
$= \frac{1}{4}(t^3 - 3t^2 + 4)$。
公式：行列式按行展开公式
提示：计算子式时注意符号，代数余子式有正负号。
步骤 6/7
目标：解三阶主子式不等式
要求 $D_3 > 0$，即 $\frac{1}{4}(t^3 - 3t^2 + 4) > 0$，等价于 $t^3 - 3t^2 + 4 > 0$。因式分解：$t^3 - 3t^2 + 4 = (t+1)(t-2)^2$。
由于 $(t-2)^2 \ge 0$，当 $t \neq 2$ 时 $(t-2)^2 > 0$，故不等式等价于 $t+1 > 0$ 且 $t \neq 2$，即 $t > -1$ 且 $t \neq 2$。
公式：因式分解：$t^3 - 3t^2 + 4 = (t+1)(t-2)^2$
提示：注意 $t=2$ 时 $D_3=0$，不满足正定；$t=-1$ 时 $D_3=0$，也不满足。
步骤 7/7
目标：取交集得最终范围
由 $D_2 > 0$ 得 $-2 < t < 2$，由 $D_3 > 0$ 得 $t > -1$ 且 $t \neq 2$。取交集得 $-1 < t < 2$。因此，使二次型正定的实数 $t$ 的取值范围是 $(-1, 2)$。
提示：注意 $t=2$ 已被排除，$t=-1$ 也被排除。
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